"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Симметрия помогает быстро понять устройство графика функции: чётный график отражается относительно оси Oy, а нечётный — относительно начала координат. Преобразования позволяют строить новые графики по уже известным: отражать их относительно осей, сдвигать вверх, вниз, вправо и влево, а также изменять части графика с помощью модуля. Главные инструменты темы — сравнение f(x) и f(−x), анализ формулы и преобразование координат точек.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Чётная функция — функция, для которой при всех допустимых x выполняется f(−x) = f(x). Это значит, что противоположные значения аргумента дают один и тот же результат. График такой функции симметричен относительно оси Oy, поэтому достаточно внимательно построить одну его сторону.
Нечётная функция — функция, для которой при всех допустимых x выполняется f(−x) = −f(x). Значения функции для противоположных аргументов имеют противоположные знаки. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Осевая симметрия — преобразование, при котором точки отражаются относительно выбранной прямой, называемой осью симметрии. Например, при отражении относительно оси Oy точка (x, y) переходит в точку (−x, y). Это помогает строить вторую часть графика по уже известной первой.
Преобразование графика функции — изменение положения или вида графика по сравнению с исходным графиком. Точки могут отражаться относительно осей или перемещаться вверх, вниз, вправо и влево. Зная правило преобразования, новый график можно построить без составления большой таблицы значений.
Точка графика функции имеет координаты (x, f(x)). Если взять противоположный аргумент −x, получим точку (−x, f(−x)). При отражении исходной точки относительно оси Oy меняется только первая координата: (x, y) переходит в (−x, y). Поэтому сравнение f(x) и f(−x) показывает, совпадает ли высота точек с противоположными абсциссами.
Если f(−x) = f(x), точки (x, f(x)) и (−x, f(x)) имеют одинаковые вторые координаты и находятся на одинаковом расстоянии от оси Oy. Так появляется зеркальная симметрия чётного графика. Если f(−x) = −f(x), точка (x, y) соответствует точке (−x, −y), то есть результату поворота на 180° вокруг начала координат; это симметрия нечётного графика.
В записи y = −f(x) каждому значению y сопоставляется противоположное значение −y. Поэтому точка (x, y) переходит в (x, −y), а график отражается относительно оси Ox. Например, ветви параболы y = x², расположенные выше оси Ox, переходят ниже неё и образуют график y = −x².
Прибавление числа к значению функции меняет вторую координату точки: y становится y + b. Поэтому y = f(x) + b сдвигает график вверх при положительном b и вниз при отрицательном. Число внутри аргумента действует иначе: в формуле y = f(x − a) точка с прежним значением функции появляется при новом аргументе x + a, поэтому график сдвигается вправо при a > 0.
Чтобы построить преобразованный график, сначала выбирают несколько характерных точек исходного графика. Затем по правилу преобразования меняют их координаты, соединяют полученные точки плавной линией и проверяют результат. Нужно убедиться, что учтена область определения и что новые точки действительно удовлетворяют формуле.
В таблице указано, как меняются координаты каждой точки исходного графика. Сначала определите, какая запись стоит в формуле, затем примените соответствующее правило к нескольким точкам. После построения проверьте направление сдвига и расположение графика относительно осей.
| Запись | Преобразование точки (x, y) | Как меняется график | Пример |
|---|---|---|---|
| y = f(−x) | (x, y) → (−x, y) | Отражение относительно оси Oy | y = (−x)² |
| y = −f(x) | (x, y) → (x, −y) | Отражение относительно оси Ox | y = −x² |
| y = f(x) + b | (x, y) → (x, y + b) | Сдвиг на b единиц вверх при b > 0 или вниз при b < 0 | y = x² + 2 |
| y = f(x − a) | (x, y) → (x + a, y) | Сдвиг на a единиц вправо при a > 0 или влево при a < 0 | y = (x − 3)² |
| y = |f(x)| | Точки с отрицательными y отражаются вверх | Часть графика ниже оси Ox переносится выше неё | y = |x² − 1| |
| y = f(|x|) | Сохраняется правая часть, её отражение строится слева | График становится симметричным относительно оси Oy | y = |x| |
Условие. Определить, является ли функция y = x² + 3 чётной, нечётной или ни чётной, ни нечётной. Нужно сравнить значение функции при x и при −x.
Ответ: функция y = x² + 3 чётная, её график симметричен относительно оси Oy.
Условие. Построить график y = −(x − 2)² + 1, используя график y = x². В формуле есть горизонтальный сдвиг, вертикальный сдвиг и знак минус перед всей функцией.
Ответ: график — парабола с вершиной (2, 1), направленная ветвями вниз.
Условие. Построить график y = |x² − 4| и указать его ось симметрии. Сначала нужно увидеть исходный график без внешнего модуля.
Ответ: график строится отражением нижней части параболы вверх; ось симметрии — Oy.
Считать функцию нечётной только из-за наличия нечётной степени, например x³, неверно. В формуле могут быть дополнительные слагаемые, которые изменят свойство всей функции. Проверяйте именно равенства f(−x) = f(x) и f(−x) = −f(x), а не отдельный член.
Записи f(x − a) и f(x) − a означают разные преобразования. Первая меняет аргумент и сдвигает график горизонтально, вторая меняет значение и сдвигает его вертикально. Проверьте, находится ли число рядом с x внутри скобок или прибавляется уже после вычисления функции.
При построении y = |f(x)| нельзя оставлять часть графика ниже оси Ox. Модуль делает отрицательные значения положительными, поэтому каждую такую точку нужно отразить вверх. Удобно сначала отметить участки, где f(x) < 0.
Проверка одного значения x не доказывает чётность или нечётность. Равенство должно выполняться для всех x из области определения, причём сама область определения должна быть симметрична относительно нуля. Составьте общее выражение f(−x), а не проверяйте только один пример.
До этой темы нужны координаты точки, умение читать координаты на плоскости и строить график по таблице значений. Эти навыки позволяют понимать, как именно перемещаются точки.
Преобразования опираются на область определения функции и вычисление её значения при заданном аргументе. Если допустимые значения x ограничены, это нужно учитывать при построении нового графика.
Симметрия и сдвиги пригодятся при построении графиков линейных, квадратных, модульных и других функций. Один известный график становится основой для получения нескольких новых.
Почему функция y = x^2 является чётной?
Для неё f(x) = x². Если заменить x на −x, получим f(−x) = (−x)² = x² = f(x). Поэтому график этой функции симметричен относительно оси Oy.
Может ли функция быть одновременно чётной и нечётной?
Да, если её значение для всех допустимых x равно нулю: f(x) = 0. Тогда одновременно выполняются равенства f(−x) = f(x) и f(−x) = −f(x). Например, такова функция y = 0.
Как понять, куда сдвигается график y = f(x - 3)?
Число 3 находится внутри скобок вместе с x, поэтому график сдвигается по горизонтали. Запись f(x − 3) означает сдвиг исходного графика на 3 единицы вправо.
Чем отличается график y = |f(x)| от графика y = f(|x|)?
В первом случае отрицательные значения y отражаются вверх через ось Ox. Во втором сохраняется правая часть исходного графика, а затем её отражение строится слева, поэтому график становится симметричным относительно оси Oy.
Как определить симметрию функции по её графику?
Если левая и правая части графика зеркально отражаются относительно оси Oy, функция чётная. Если при повороте графика на 180° вокруг начала координат он совпадает сам с собой, функция нечётная.
З Занятие 4. Симметрия функций и преобразование их графиков
