"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Функция связывает каждое допустимое значение x с единственным значением y. Над функциями можно выполнять действия: складывать, вычитать и умножать их значения на число. Формула помогает понять, как изменится график: он может сдвигаться, растягиваться или отражаться. Главное — выполнять преобразования по правилам и следить за областью определения, то есть за допустимыми значениями x.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция — правило, которое каждому допустимому значению x ставит в соответствие единственное значение y. Запись y = f(x) означает, что y находят по правилу f, подставляя выбранное x. Это обозначение удобно, потому что сразу показывает зависимость одной величины от другой.
Область определения функции — все значения x, при которых функция имеет смысл и задана. Например, в √x нельзя подставить отрицательное число, поэтому область определения состоит из x ≥ 0. При преобразовании формулы нужно проверять, не изменился ли этот набор.
Сумма и разность функций — новые функции, полученные сложением или вычитанием значений исходных функций при одном и том же x. Записи имеют вид (f + g)(x) = f(x) + g(x) и (f − g)(x) = f(x) − g(x). Они помогают описывать величину, составленную из двух зависимостей.
Преобразование графика функции — изменение положения или вида графика, вызванное изменением формулы. График можно сдвинуть, растянуть, сжать или отразить. По виду новой формулы часто можно заранее понять, что произойдёт с точками.
При сложении или вычитании функций берут одно и то же значение x и находят для него оба результата. Затем эти результаты складывают или вычитают, поэтому новая функция существует только там, где существуют обе исходные. Например, нельзя сложить значения функций при x = 2 и x = 5: это были бы значения в разных точках.
Если к значениям функции прибавить число a, каждое значение y изменится на одинаковую величину. Поэтому все точки графика перемещаются вертикально: при a > 0 вверх, а при a < 0 вниз. Форма графика и его область определения не меняются, потому что допустимые x остались прежними.
В записи f(x − a) изменяется вход функции, а не её результат. Чтобы получить прежнее значение f(x₀), нужно взять x − a = x₀, значит, новая координата равна x₀ + a. Поэтому при a > 0 график сдвигается вправо, хотя внутри скобок стоит знак минус; запись f(x + a) даёт сдвиг влево.
При умножении функции на число k каждое значение y умножается на k. Если k больше 1, расстояния от оси x увеличиваются, а если 0 < k < 1, уменьшаются. При k < 0 результат меняет знак, поэтому график дополнительно отражается относительно оси x; при k = 0 он превращается в прямую y = 0.
Несколько преобразований выполняют одно за другим, каждый раз записывая новую формулу. После этого нужно заново проверить область определения: горизонтальный сдвиг меняет допустимые x у функций с ограничениями. Полезно подставить несколько простых значений и сравнить полученные точки с предполагаемым положением графика.
| Новая функция | Изменение графика | Что происходит с областью определения |
|---|---|---|
| y = f(x) + a | Сдвиг вверх при a > 0, вниз при a < 0 | Не меняется |
| y = f(x − a) | Сдвиг вправо при a > 0, влево при a < 0 | Значения x сдвигаются на a |
| y = kf(x) | Изменение вертикального масштаба; при k < 0 также отражение относительно оси x | Не меняется при k ≠ 0 |
| y = f(x) + g(x) | В каждой точке складываются значения двух функций | Пересечение областей определения |
Сначала найдите в таблице вид изменения формулы, а затем определите направление или масштаб преобразования. Для суммы функций отдельно проверьте, где определены оба слагаемых. При нескольких действиях применяйте строки таблицы последовательно.
Для f(x) = 2x + 1 и g(x) = x − 3 нужно найти формулу суммы и её значение при x = 2. Обе функции определены при любом x, поэтому складывать их можно для всех чисел. Важно сначала получить общую формулу, а уже потом подставлять конкретное значение.
Ответ: f(x) + g(x) = 3x − 2; при x = 2 значение суммы равно 4.
График y = x² сдвинули на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Горизонтальный сдвиг меняет аргумент, а вертикальный — всё значение функции. Поэтому преобразования нужно отразить в формуле именно в таком порядке.
Ответ: y = (x − 3)² + 2.
Дана функция f(x) = √x. Требуется записать y = 2f(x − 1) и найти область определения. Сначала заменим аргумент, затем учтём множитель перед функцией. Ограничение появляется из-за квадратного корня: выражение под корнем не может быть отрицательным.
Ответ: y = 2√(x − 1), область определения — x ≥ 1.
Ошибка: считать, что f(x − a) сдвигает график влево. Её допускают из-за привычки связывать знак минус с движением влево, но внутри аргумента правило обратное. Проверьте себя по точке: решите x − a = x₀ и найдите новую координату.
Ошибка: складывать аргументы или значения при разных x. Возникает путаница между формулами функций и их результатами в одной точке. Записывайте именно f(x) + g(x), а затем подставляйте одно и то же число x.
Ошибка: забывать об общей области определения суммы или разности. Кажется, что достаточно проверить только первую функцию, хотя второе слагаемое тоже должно иметь смысл. Выпишите ограничения обеих функций и оставьте только общие значения.
Ошибка: при умножении на отрицательное число говорить только о растяжении. Отрицательный множитель ещё меняет знак каждого y, поэтому график отражается относительно оси x. Для проверки сравните знак координаты любой точки до и после умножения.
До этой темы нужно уметь читать координаты точек, отмечать их на координатной плоскости и подставлять числа в формулу функции. Также пригодятся переменная, выражение и область допустимых значений, потому что они помогают находить область определения. Позже преобразования позволят строить графики по известному графику, не вычисляя каждую точку. Сложение функций полезно, когда одна величина складывается из нескольких частей или нужно сравнить две зависимости.
Почему при записи f(x − 3) график сдвигается вправо, а не влево?
Чтобы получить прежнее значение функции f(x₀), нужно взять x − 3 = x₀, то есть x = x₀ + 3. Поэтому каждая точка графика переезжает на 3 единицы вправо.
Как найти область определения суммы двух функций?
Нужно найти значения x, допустимые для первой функции, и значения x, допустимые для второй. Область определения суммы состоит только из их общих значений, то есть из пересечения двух областей.
Можно ли складывать значения функций, если аргументы разные?
В сумме функций складывают f(x) и g(x), взятые при одном и том же x. Значения при разных аргументах не описывают сумму функций в одной точке.
Что происходит с графиком, если функцию умножить на отрицательное число?
Расстояния точек от оси x изменяются в |k| раз. Кроме того, при отрицательном k график отражается относительно оси x.
В каком порядке выполнять несколько преобразований графика?
Запишите новую формулу последовательно, выполняя действия в указанном порядке. Затем определите область определения и проверьте несколько точек или характерных элементов графика.
З Занятие 3. Преобразования функций и действия над ними
