"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Угол — это фигура из двух лучей с общей начальной точкой, но его можно понимать и как результат поворота одного луча вокруг этой точки. Такая связь помогает измерять повороты в градусах: полный оборот равен 360°. Вы научитесь называть вершину и стороны угла, находить величину поворота по его доле оборота и учитывать несколько последовательных поворотов, включая полные обороты.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Угол — фигура, образованная двумя лучами с общей начальной точкой. Общая точка называется вершиной, а лучи расходятся из неё в разных направлениях. Понятие угла нужно, чтобы описывать не только форму, но и величину поворота.
Сторона угла — каждый из двух лучей, образующих угол. Вершину обозначают одной буквой, а весь угол — тремя буквами, причём буква вершины стоит в середине: угол ABC или CBA. Такое обозначение точно показывает, о каком угле идёт речь.
Градус — единица измерения величины угла; её записывают знаком °. Полный оборот принимают за 360°, поэтому один градус — это 1/360 полного оборота. Градусы позволяют сравнивать углы и вычислять, насколько повернулся предмет.
Вращательное движение — движение, при котором точка или предмет поворачивается вокруг неподвижного центра или оси. Например, стрелка часов вращается вокруг своей оси, а колесо — вокруг неподвижной оси. Угол показывает, на какую величину произошёл такой поворот.
Представим луч, который выходит из точки O. Если оставить точку O неподвижной и повернуть луч, его новое положение будет второй стороной угла. Поэтому угол можно рассматривать не только как готовую фигуру, но и как результат вращения. Чем дальше повернули луч, тем больше величина получившегося угла.
Первое положение луча называют начальной стороной, а положение после поворота — конечной стороной. Такое разделение нужно, чтобы описать движение откуда и куда происходил поворот. Если менять направление вращения, конечная сторона может оказаться по другую сторону от начальной, поэтому направление иногда необходимо указывать отдельно.
Полный оборот разделили на 360 равных частей, и каждую часть назвали одним градусом. Такое соглашение удобно: 360 делится на 2, 3, 4, 6, 9, 10 и другие числа, поэтому многие доли оборота выражаются целым числом градусов. Так появляется шкала, с помощью которой можно измерять любой поворот транспортиром или вычислением.
Четверть оборота получается при делении 360° на 4: это 90°. Половина оборота равна 360° : 2 = 180°, а три четверти — 360° · 3/4 = 270°. Эти значения помогают быстро распознавать знакомые части полного вращения.
Чтобы определить угол по повороту, сначала выясняют, какую часть полного оборота он составляет, и умножают эту долю на 360°. Обратная задача решается делением: величину угла делят на 360° и получают долю оборота. Если поворотов несколько, их величины складывают, не забывая о каждом полном обороте и выбранном направлении.
| Понятие или характеристика | Что означает | Обозначение или пример |
|---|---|---|
| Угол | Фигура из двух лучей с общей начальной точкой или результат поворота луча | ∠ABC |
| Вершина угла | Общая начальная точка его сторон | В угле ABC вершина B |
| Стороны угла | Два луча, образующие угол | BA и BC |
| Начальная и конечная стороны | Первое положение луча и положение после поворота | Поворот от луча OA к лучу OB |
| Единица измерения | Градус — 1/360 полного оборота | 1° |
| Полный оборот | Поворот на один полный круг | 360° |
| Четверть, половина и три четверти оборота | Соответственно 90°, 180° и 270° | 360° : 4; 360° : 2; 360° · 3/4 |
| Направление вращения | Показывает, в какую сторону движется луч или предмет | По часовой стрелке или против неё |
Сначала найдите в таблице нужное понятие, а затем используйте его обозначение или пример. Для вычислений удобно помнить равенство 1 оборот = 360° и переводить доли оборота в градусы. При описании движения отдельно проверьте начальную сторону, конечную сторону и направление.
Дан угол ABC. Нужно назвать его вершину и стороны, а затем записать угол двумя способами. В записи из трёх букв средняя буква всегда обозначает вершину. Значит, сначала нужно найти именно её, а потом назвать лучи.
Ответ: вершина B, стороны BA и BC; угол можно записать как ∠ABC и ∠CBA.
Колесо повернулось на четверть оборота, затем ещё на половину оборота. Нужно найти величину всего поворота. Поскольку движения происходили последовательно в одном направлении, их величины складываются.
Ответ: колесо повернулось на 270°, то есть на три четверти оборота.
Стрелка совершила полтора оборота, а затем повернулась ещё на 90°. Требуется найти общий угол поворота и выразить его долей полного оборота. Полтора оборота нельзя заменить одним неполным: нужно учесть весь первый оборот и ещё половину второго.
Ответ: общий угол поворота равен 630°, это 1¾ полного оборота.
Иногда угол называют по двум буквам или ставят букву вершины не в середину. Так теряется точность: одна и та же пара лучей может быть частью разных углов. Проверьте запись: для полного обозначения используйте три буквы, а вершина должна стоять второй.
Сторону угла могут принять за отрезок, потому что на рисунке часто виден только небольшой участок луча. Но сторона продолжается бесконечно в одном направлении. Проверьте, есть ли у неё начальная точка и стрелка продолжения.
Некоторые считают полный оборот равным 100° или 180°. 100 связано с процентами, а 180° — только с половиной оборота, то есть развёрнутым углом. Для проверки вспомните: полный круг возвращает предмет в исходное положение и равен 360°.
При нескольких поворотах можно учесть только последний или забыть направление движения. Тогда получится неверный общий результат. Запишите повороты по порядку, переведите их в градусы и сложите, учитывая каждый полный оборот.
До этой темы нужны понятия точки, прямой и луча, а также умение измерять величины. При работе с транспортиром важно понимать, от какой стороны начинается отсчёт и где находится вершина угла.
Дальше знания пригодятся при изучении видов углов, геометрических фигур и окружности. Та же идея поворота встречается в координатных поворотах и описании движения объектов на плоскости.
В жизни углы помогают описывать положение стрелок часов, вращение колеса и работу деталей механизмов. Навигация тоже использует повороты, чтобы задавать направление движения.
Почему угол считают не только фигурой, но и поворотом?
Два луча образуют фигуру, которую называют углом. Если один луч повернуть вокруг его начальной точки до положения другого, получится тот же угол как результат движения.
Как правильно определить вершину и стороны угла?
Общая начальная точка двух лучей — вершина угла. Сторонами являются сами лучи, выходящие из вершины; в обозначении угол ставят так, чтобы буква вершины была в середине.
Почему полный оборот равен именно 360°?
Это принятая единица измерения: полный оборот условно разделили на 360 равных частей. Каждая часть получила величину 1°, поэтому весь оборот составляет 360°.
Как перевести четверть или половину оборота в градусы?
Нужно 360° умножить на соответствующую долю. Четверть оборота: 360° : 4 = 90°, половина: 360° : 2 = 180°.
Нужно ли учитывать направление и несколько полных оборотов?
Да, если описывается движение, важно учитывать последовательность и направление поворотов. Каждый полный оборот добавляет 360°, а величины последовательных поворотов складывают.
З Занятие 1. Углы и вращательное движение
