"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Синус, косинус, тангенс и котангенс связывают угол прямоугольного треугольника с отношениями его сторон. С их помощью находят неизвестные стороны и углы, сравнивают величины и описывают повторяющиеся процессы. Главное — правильно выбрать противолежащий и прилежащий катеты, помнить формулы тангенса и котангенса и учитывать, когда деление невозможно.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус угла α — отношение противолежащего катета прямоугольного треугольника к гипотенузе: sin α = a/c. Противолежащий катет лежит напротив выбранного угла. Синус помогает по углу и одной стороне находить другую сторону.
Косинус угла α — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos α = b/c. Прилежащий катет образует одну из сторон выбранного угла, но не является гипотенузой. Косинус нужен, когда рассматривают сторону треугольника рядом с углом.
Тангенс — отношение синуса к косинусу: tg α = sin α / cos α. Для острого угла это также отношение противолежащего катета к прилежащему. Он позволяет сравнивать, насколько один катет длиннее или короче другого.
Котангенс — отношение косинуса к синусу: ctg α = cos α / sin α. В прямоугольном треугольнике это отношение прилежащего катета к противолежащему. Тангенс и котангенс взаимно обратны, если оба значения определены.
Чтобы найти синус или косинус, сначала выбирают угол α, затем определяют гипотенузу и нужный катет. Гипотенуза лежит напротив прямого угла и является самой длинной стороной. Для синуса берут катет напротив α, а для косинуса — катет, который прилегает к α.
Размер треугольника не влияет на синус и косинус, потому что прямоугольные треугольники с одинаковым острым углом подобны. У подобных треугольников соответствующие стороны увеличиваются во столько же раз. Поэтому, например, отношение противолежащего катета к гипотенузе остаётся одинаковым.
Тангенс получают делением sin α на cos α, а котангенс — делением cos α на sin α. Такое деление разрешено только тогда, когда знаменатель не равен нулю. Поэтому tg α не существует при cos α = 0, а ctg α не существует при sin α = 0.
В прямоугольном треугольнике катет короче гипотенузы, поэтому для острого угла 0 < sin α < 1 и 0 < cos α < 1. Отношение двух катетов уже не обязано быть меньше единицы: если числитель больше знаменателя, тангенс или котангенс превышает 1. Например, у угла 60° тангенс больше 1, а котангенс меньше 1.
При увеличении острого угла синус возрастает, а косинус убывает: угол становится ближе к 90°, и противолежащий катет увеличивается относительно гипотенузы. Тангенс при этом возрастает, а котангенс убывает. Для полного оборота значения функций повторяются, потому что положение луча после поворота на 360° возвращается к исходному: sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x.
Для любых углов синус и косинус могут быть положительными, отрицательными или равными нулю, но их значения не выходят за пределы от −1 до 1. Графики этих функций имеют одинаковый период 2π, то есть повторяются через полный оборот. На графике косинус начинается с 1 при x = 0, а синус — с 0.
| Свойство | sin α | cos α | tg α | ctg α |
|---|---|---|---|---|
| Определение через стороны прямоугольного треугольника | Противолежащий катет / гипотенуза | Прилежащий катет / гипотенуза | Противолежащий катет / прилежащий катет | Прилежащий катет / противолежащий катет |
| Формула через sin и cos | — | — | tg α = sin α / cos α | ctg α = cos α / sin α |
| Допустимые значения угла | Любой угол | Любой угол | Любой угол, кроме cos α = 0 | Любой угол, кроме sin α = 0 |
| Множество значений | −1 ≤ sin α ≤ 1 | −1 ≤ cos α ≤ 1 | Любые действительные числа | Любые действительные числа |
| Когда функция не определена | Не бывает | Не бывает | При cos α = 0 | При sin α = 0 |
| Связь с другими функциями | sin α = cos(90° − α) | cos α = sin(90° − α) | tg α = 1 / ctg α | ctg α = 1 / tg α |
В таблице сначала найдите нужную функцию, а затем выберите строку с требуемым свойством. При работе с треугольником удобнее пользоваться первой строкой, а при вычислениях по известным значениям — второй. Перед делением всегда проверяйте, не равен ли знаменатель нулю.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, а противолежащий углу α катет — 6 см. Нужно найти sin α. Слово «противолежащий» сразу подсказывает, какой катет будет числителем.
Ответ: sin α = 3/5.
Известно, что sin α = 3/5 и cos α = 4/5. Требуется найти tg α и ctg α. Здесь стороны треугольника искать не нужно, потому что обе необходимые величины уже даны.
Ответ: tg α = 3/4, ctg α = 4/3.
Сравним sin 30° и cos 60°. Эти углы дополняют друг друга до 90°, поэтому можно применить соотношение sin α = cos(90° − α).
Ответ: sin 30° = cos 60° = 1/2.
Ученик меняет местами противолежащий и прилежащий катеты. Так происходит, если катет выбирают без привязки к углу. Нужно сначала отметить угол α и проверить: напротив него стоит противолежащий катет, рядом с ним — прилежащий.
Иногда записывают tg α = cos α / sin α, путая тангенс с котангенсом. Ошибка возникает из-за похожих названий и обратного порядка дробей. Проверьте формулу через стороны: тангенс — противолежащий катет к прилежащему.
Некоторые считают, что синус или косинус могут быть больше 1. Для острого угла это невозможно, поскольку катет короче гипотенузы. Если результат больше 1, заново проверьте числитель и знаменатель.
Ещё одна ошибка — деление на ноль при вычислении тангенса или котангенса. Перед действием найдите знаменатель: для tg это cos α, для ctg — sin α. Если он равен нулю, соответствующая функция не определена.
Перед изучением темы нужны свойства прямоугольного треугольника, понятия острого и прямого углов, а также умение выполнять действия с дробями. Тригонометрические отношения помогают находить неизвестные стороны и углы в геометрических задачах. Позже синус и косинус встречаются в графиках функций, уравнениях и описании периодических процессов, например колебаний.
Как понять, какой катет считать противолежащим?
Сначала выберите угол, для которого выполняете вычисление. Катет напротив этого угла — противолежащий, а катет, образующий одну сторону угла, — прилежащий.
Почему синус и косинус зависят только от угла?
Прямоугольные треугольники с одинаковым острым углом подобны. При изменении размера треугольника все стороны изменяются в одном отношении, поэтому отношение катета к гипотенузе остаётся прежним.
Чем тангенс отличается от котангенса?
Тангенс равен отношению синуса к косинусу, а котангенс — косинуса к синусу. Для острого угла это соответственно отношение противолежащего катета к прилежащему и прилежащего к противолежащему.
Может ли синус быть больше единицы?
Синус не может быть больше 1 по модулю, потому что для острого угла он равен отношению катета к гипотенузе, а гипотенуза длиннее катета. Для любых углов значение синуса находится от −1 до 1.
Почему иногда тангенс или котангенс не имеют значения?
Тангенс вычисляют делением на cos α, поэтому он не определён при cos α = 0. Котангенс делит на sin α и не определён при sin α = 0: делить на ноль нельзя.
З Занятие 2. Тригонометрические операции
