З Занятие 3. Преобразование тригонометрических выражений

Определения и обозначения

Тригонометрическое выражение — это выражение, в котором есть sin, cos, tg или ctg угла, а также числа, переменные и действия с ними. Например, sin x + 2 cos x и tg x / 3 — тригонометрические выражения. Понимание этого термина помогает сразу заметить, что в задаче могут понадобиться специальные формулы для функций угла.

Тождественное преобразование — замена выражения другим, равным ему при всех допустимых значениях переменной. Например, sin²x можно заменить на 1 − cos²x благодаря основному тождеству. Такой приём нужен, чтобы сделать выражение проще или привести его к удобному виду, не меняя его значения.

Основное тригонометрическое тождество — равенство sin²x + cos²x = 1. Оно связывает синус и косинус одного угла и позволяет выразить квадрат одной функции через квадрат другой: sin²x = 1 − cos²x или cos²x = 1 − sin²x. Это полезно, когда в выражении нужно оставить только синус или только косинус.

ОДЗ тригонометрического выражения — все значения переменной, при которых выражение имеет смысл. В частности, знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому tg x не определён при cos x = 0, а ctg x — при sin x = 0. ОДЗ нужно записывать до преобразований, чтобы не потерять ограничения исходной записи.

Как это устроено

Сначала определите, к какому результату нужно прийти. Иногда требуется сократить выражение, иногда — записать его только через sin x и cos x, а иногда — подготовить к подстановке угла. Понимание цели помогает выбрать формулу, а не заменять функции наугад. Например, если вместе встречаются tg и sin, замена tg на отношение может сразу дать общий множитель.

До преобразований установите ОДЗ: найдите знаменатели и выясните, когда каждый из них обращается в ноль. Это нужно потому, что деление на ноль невозможно, даже если позже знаменатель исчезнет при сокращении. При делении на sin x дополнительно требуется sin x ≠ 0, а при делении на cos x — cos x ≠ 0. Эти условия могут сузить набор допустимых углов.

Тангенс и котангенс можно заменить отношениями синуса и косинуса: tg x = sin x / cos x, ctg x = cos x / sin x. Формулы следуют из определения этих функций и помогают перейти к выражению, где видны общие множители. При такой замене нельзя забывать, что cos x и sin x в знаменателях должны быть ненулевыми.

Тождество sin²x + cos²x = 1 удобно, когда в выражении есть квадрат синуса или косинуса. Переносом одного слагаемого получаем sin²x = 1 − cos²x и cos²x = 1 − sin²x. Такая замена нужна, если один квадрат можно разложить или сократить с другой частью выражения. В формуле остаётся именно квадрат: например, 1 − cos²x, а не 1 − cos x.

Порядок действий помогает не усложнить вычисления. Сначала раскройте скобки, приведите подобные слагаемые или вынесите общий множитель; дроби при сложении и вычитании приведите к общему знаменателю. Затем примените тригонометрическое тождество там, где оно действительно упрощает выражение. После каждого шага проверяйте знаки и не забывайте о записанной ОДЗ.

Основные приёмы преобразования тригонометрических выражений

Сначала выберите приём, который приближает выражение к нужному виду. Формулы для tg и ctg раскрывают выражение через синус и косинус, а основное тождество заменяет квадрат одной функции. Сокращать множители можно только после проверки ОДЗ.

Разбор задач

Задача 1. Упростить выражение sin x · tg x / sin x и указать его ОДЗ. Сначала выясним, где определено исходное выражение: в знаменателе стоит sin x, а tg x также требует cos x ≠ 0. Значит, sin x ≠ 0 и cos x ≠ 0; эти условия нельзя забыть после упрощения.

1. Заменим tg x отношением: sin x · (sin x / cos x) / sin x.
2. При sin x ≠ 0 сократим множители sin x в числителе и знаменателе. Получим sin x / cos x.
3. Запишем ограничения исходной записи: sin x ≠ 0 и cos x ≠ 0. Если использовать π, это x ≠ πk и x ≠ π/2 + πk, где k ∈ Z.

Ответ: sin x / cos x при sin x ≠ 0 и cos x ≠ 0. Хотя упрощённая дробь сама по себе определена при sin x = 0, исходное выражение там не определено.

Задача 2. Преобразовать (1 − cos²x) / sin x к более простому виду. Числитель содержит разность 1 − cos²x, которая по основному тождеству равна sin²x. В исходной дроби знаменатель требует sin x ≠ 0.

1. Заменим числитель: (1 − cos²x) / sin x = sin²x / sin x.
2. Сократим на sin x, поскольку по ОДЗ он не равен нулю.
3. Получим sin x и сохраним ограничение исходной дроби: sin x ≠ 0, то есть x ≠ πk, k ∈ Z.

Ответ: sin x при x ≠ πk, k ∈ Z. Результат упрощён, но в исходной дроби при исключённых значениях знаменатель обращался в ноль.

Задача 3. Упростить (tg x + ctg x) · sin x · cos x и определить допустимые x. Здесь удобнее заменить обе функции отношениями: тогда произведения и возможные сокращения станут видны. По исходной записи нужны одновременно sin x ≠ 0 и cos x ≠ 0.

1. Подставим формулы: (sin x / cos x + cos x / sin x) · sin x · cos x.
2. Раскроем скобки: (sin x / cos x) · sin x · cos x + (cos x / sin x) · sin x · cos x.
3. Сократим множители в каждом слагаемом с учётом ограничений. Получим sin²x + cos²x.
4. Применим основное тождество: sin²x + cos²x = 1. ОДЗ остаётся прежней: sin x ≠ 0 и cos x ≠ 0.

Ответ: 1 при sin x ≠ 0 и cos x ≠ 0, то есть x ≠ πk и x ≠ π/2 + πk, k ∈ Z. Единица получилась после преобразования, но не отменяет ограничений исходных tg и ctg.

Типичные ошибки

• Сокращают sin x или cos x, не проверив, может ли множитель равняться нулю. Так происходит, когда правило сокращения дробей применяют автоматически и забывают, что делить на ноль нельзя. Перед сокращением выпишите условие: сокращаемый множитель не равен нулю, а ограничения исходного знаменателя сохраняются.

• Считают тождественным равенство, которое верно лишь для отдельных углов. Например, проверка на одном удобном значении не доказывает, что преобразование верно для всех допустимых x. Проверяйте используемую формулу и обосновывайте каждый переход; пробная подстановка служит только дополнительной проверкой.

• Записывают sin²x + cos²x = 1 неверно или заменяют sin²x на 1 − cos x. Обычно так случается, если теряется квадрат при переносе слагаемого. Перечитайте формулу: замена имеет вид sin²x = 1 − cos²x, и квадрат остаётся у cos x.

• Ошибаются при раскрытии скобок или сложении дробей: теряют минус либо складывают числители, не приводя дроби к общему знаменателю. Это часто происходит из-за спешки и пропуска промежуточных строк. Раскрывайте скобки по каждому слагаемому, а общий знаменатель запишите до сложения.

Связь с другими темами

Для преобразований понадобятся обозначения sin, cos, tg и ctg, основное тождество и правила действий с дробями. Если эти знания забылись, сначала повторите, как функции связаны между собой и когда дробь имеет смысл. Преобразования помогают доказывать тригонометрические тождества и вычислять значения выражений. Они также пригодятся при решении тригонометрических уравнений и неравенств, где упрощённая запись часто облегчает поиск ответа.

Что запомнить

• Преобразование должно сохранять значение выражения на всей его ОДЗ.
• Перед сокращением дроби проверьте, не равен ли сокращаемый множитель нулю.
• tg x = sin x / cos x, а ctg x = cos x / sin x.
• Главное тождество: sin²x + cos²x = 1.
• sin²x можно заменить на 1 − cos²x, а cos²x — на 1 − sin²x.
• Сначала выполняйте обычные алгебраические преобразования, затем выбирайте подходящее тригонометрическое тождество.