З Занятие 4. Тригонометрические функции

Определения и обозначения

Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. На единичной окружности sin x равен вертикальной координате точки, соответствующей углу. Синус помогает находить неизвестные стороны и координаты.

Косинус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе. На единичной окружности cos x равен горизонтальной координате соответствующей точки. Он нужен для описания положения точки и вычисления сторон треугольника.

Тангенс угла — отношение синуса к косинусу: tg x = sin x / cos x. Поэтому он определён только тогда, когда cos x ≠ 0: делить на ноль нельзя. В прямоугольном треугольнике тангенс также равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла — отношение косинуса к синусу: ctg x = cos x / sin x. Он существует только при sin x ≠ 0, поскольку синус находится в знаменателе. Котангенс связывает те же две величины, но в обратном порядке.

Как это устроено

Единичная окружность имеет радиус 1 и центр в начале координат. Если повернуть радиус на угол x, его конец окажется в точке с координатами (cos x; sin x). Так каждому углу сопоставляются два числа, а при изменении угла эти числа меняются и становятся функциями.

Координаты точки единичной окружности не могут выйти за пределы от −1 до 1, потому что расстояние от точки до центра равно 1. Значит, синус и косинус принимают только значения из отрезка [−1; 1]. Тангенс и котангенс являются отношениями этих координат, поэтому их значения не ограничены сверху и снизу: при знаменателе, близком к нулю, отношение может быть очень большим по модулю.

Из определения тангенса как отношения противолежащего катета к прилежащему, а также из определений синуса и косинуса получаем tg x = sin x / cos x. Аналогично обратное отношение катетов даёт ctg x = cos x / sin x. Эти формулы удобны, когда известны значения синуса и косинуса.

Поворот на 2π возвращает радиус в исходное положение, поэтому sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x. У тангенса и котангенса после поворота на π обе координаты меняют знак, а отношение не меняется. Поэтому их период равен π, тогда как период синуса и косинуса равен 2π.

Нули функции возникают, когда её значение равно нулю. Синус и тангенс обнуляются при sin x = 0, а косинус и котангенс — при cos x = 0. Точки, где функция не определена, находят по нулю знаменателя: для тангенса это cos x = 0, для котангенса — sin x = 0.

Основные свойства тригонометрических функций

В таблице сначала проверяйте область определения: она показывает, при каких x выражение имеет смысл. Затем можно найти значение, нули или период функции. Здесь k ∈ Z, то есть k может быть любым целым числом.

Свойство чётности помогает сравнивать значения при противоположных аргументах. Например, sin(−x) = −sin x, а cos(−x) = cos x.

Разбор задач

Задача 1

Точка единичной окружности имеет координаты (√3/2; 1/2). Нужно найти sin x, cos x, tg x и ctg x. Координаты уже дают первые два значения, поэтому останется подставить их в формулы отношений.

1. Абсцисса точки равна косинусу: cos x = √3/2.
2. Ордината точки равна синусу: sin x = 1/2.
3. tg x = (1/2) / (√3/2) = 1/√3 = √3/3.
4. ctg x = (√3/2) / (1/2) = √3.

Ответ: sin x = 1/2, cos x = √3/2, tg x = √3/3, ctg x = √3.

Задача 2

Нужно определить, когда имеет смысл tg x, и при каких x котангенс равен нулю. Для тангенса проверяем знаменатель его формулы, а для котангенса ищем нули числителя при допустимом знаменателе.

1. tg x = sin x / cos x, поэтому cos x ≠ 0.
2. Косинус равен нулю при x = π/2 + πk, значит в этих точках тангенс не определён.
3. ctg x = cos x / sin x равен нулю, когда cos x = 0 и sin x ≠ 0.
4. Следовательно, ctg x = 0 при x = π/2 + πk.

Ответ: tg x имеет смысл при x ≠ π/2 + πk; ctg x равен нулю при x = π/2 + πk, где k ∈ Z.

Задача 3

Сравним sin(π/6), cos(π/3), tg(π/4) и ctg(π/4) без калькулятора. Углы π/6 и π/3 являются дополнительными, а для угла π/4 синус и косинус равны. Поэтому достаточно использовать табличные значения.

1. sin(π/6) = 1/2.
2. cos(π/3) = 1/2, значит первые два выражения равны.
3. При x = π/4 sin x = cos x, поэтому tg(π/4) = 1.
4. Тогда и ctg(π/4) = 1, поскольку это обратное отношение равных чисел.

Ответ: sin(π/6) = cos(π/3) = 1/2, а tg(π/4) = ctg(π/4) = 1. В порядке возрастания: 1/2, 1/2, 1, 1.

Типичные ошибки

Ошибка — считать тангенс определённым при любом x. Забывают, что cos x стоит в знаменателе и не может быть равен нулю. Проверка: перед вычислением tg x найдите значения, при которых cos x = 0.

Иногда путают формулы tg x = cos x / sin x и ctg x = sin x / cos x. Это происходит из-за похожих названий и перестановки числителя со знаменателем. Проверьте себя по сторонам треугольника: тангенс — противолежащий катет к прилежащему.

Период тангенса ошибочно принимают равным 2π. Но при повороте на π и синус, и косинус меняют знак, поэтому их отношение остаётся прежним. Проверка: подставьте x + π в формулу тангенса.

Нельзя приписывать синусу и косинусу значения больше 1 по модулю. Они являются координатами точки единичной окружности, поэтому всегда −1 ≤ sin x ≤ 1 и −1 ≤ cos x ≤ 1. Если результат выходит за этот предел, значит, допущена вычислительная ошибка.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужны прямоугольный треугольник, отношения сторон и координаты точки. Также пригодятся единичная окружность и значения основных углов: 0, π/6, π/4, π/3, π/2.

Тригонометрические функции помогают строить графики и решать уравнения. Позже они понадобятся в геометрии, физике и задачах о колебаниях, где величины повторяются через одинаковые промежутки времени.

Что запомнить

• Синус и косинус задаются координатами точки единичной окружности.
• tg x = sin x / cos x, а ctg x = cos x / sin x.
• Синус и косинус принимают значения только от −1 до 1.
• Тангенс не определён при cos x = 0, а котангенс — при sin x = 0.
• Периоды синуса и косинуса равны 2π, периоды тангенса и котангенса — π.
• Нули тангенса совпадают с нулями синуса, а нули котангенса — с нулями косинуса.