З Занятие 5. Тригонометрические уравнения

Определения и обозначения

Тригонометрическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная входит в аргумент тригонометрической функции, например sin x = ½. Аргумент — это число или выражение, к которому применяется функция: в записи sin 30° аргументом служит известный угол, а в sin x аргумент неизвестен. Поэтому sin 30° = ½ — просто числовое равенство, а sin x = ½ требует найти угол x. Это различие подсказывает, что решением будут значения неизвестного угла.

Корень тригонометрического уравнения — значение неизвестной, при котором уравнение становится верным. Например, если подстановка найденного угла вместо x даёт одинаковые значения слева и справа, этот угол является корнем. Проверка нужна, чтобы заметить потерянный корень или ошибку в вычислении. Она особенно полезна, когда ответ состоит из нескольких углов.

Общее решение — запись всех корней уравнения с помощью целого параметра, обычно k ∈ Z. Целые значения k позволяют получить не только несколько первых углов, но и все остальные. Например, запись x = α + 2πk описывает углы α, α + 2π, α − 2π и другие. Поэтому общее решение заменяет бесконечный список корней короткой формулой.

Период тригонометрической функции — число, при прибавлении которого к аргументу значение функции повторяется. У синуса и косинуса период 2π, а у тангенса — π. Период нужен, потому что один и тот же результат возникает снова при повороте на полный круг или на соответствующую часть круга. Если не учитывать период, в ответ попадёт только часть корней.

Как это устроено

В уравнении sin x = a сначала нужно выяснить, может ли синус вообще принимать значение a. Синус угла на единичной окружности — это вертикальная координата точки, а она не бывает меньше −1 или больше 1. Поэтому при |a| > 1 решений нет. Если значение допустимо, на окружности находят точки с вертикальной координатой a: обычно их две, и соответствующие углы дают две серии корней с периодом 2π.

Для уравнения cos x = a рассуждают похожим образом, но косинус на единичной окружности показывает горизонтальную координату точки. Она также может быть только от −1 до 1, значит, при |a| > 1 корней нет. Если |a| ≤ 1, проводят мысленно вертикальную линию через координату a: обычно она пересекает окружность в двух точках. Эти точки соответствуют углам β и −β, где β = arccos a, поэтому общее решение записывают как x = ±β + 2πk.

Уравнение tg x = a решают поиском угла, тангенс которого равен a. Если α = arctg a, то один такой угол — α, а остальные получаются добавлением периода. Тангенс равен отношению синуса к косинусу, и при повороте на π оба значения меняют знак, так что их отношение остаётся прежним. Поэтому все корни имеют вид x = α + πk, где k — любое целое число.

Решение одного тригонометрического уравнения часто содержит бесконечно много углов. Это происходит потому, что значение функции повторяется при прибавлении периода, а не потому, что мы не можем закончить вычисления. Целое число k в общей формуле перечисляет все возможные повторения одним правилом. Если записать только один-два угла, это будут лишь частные корни, а не полный ответ.

Если требуется найти корни на заданном промежутке, сначала записывают общее решение, а затем проверяют, какие значения k дают угол внутри границ. Для этого можно подставить в формулу несколько целых k подряд или решить получившееся неравенство относительно k. Нужно включать концы, если они входят в промежуток, и исключать, если не входят. После отбора полезно подставить найденные углы в исходное уравнение и сверить их с промежутком.

Основные простейшие тригонометрические уравнения

Сначала проверь условие существования решения, а затем выбери формулу для нужной функции. Символы arcsin, arccos и arctg обозначают угол, у которого соответствующая функция принимает заданное значение. В ответе с параметром k записаны все корни; для заданного промежутка из них нужно отобрать подходящие.

Разбор задач

Задача 1. Решите уравнение sin x = ½.

Значение ½ допустимо для синуса, потому что оно находится между −1 и 1. На окружности ему соответствуют два направления за полный оборот: π/6 и 5π/6. Каждое из них повторяется через период 2π, поэтому нужно записать две серии.

1. Находим первый угол: sin(π/6) = ½.
2. Второй угол за полный оборот равен π − π/6 = 5π/6.
3. Добавляем к обоим углам все целые числа периодов 2π: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

Обе серии действительно подходят: синус углов π/6 и 5π/6 равен ½, а прибавление 2π его не меняет. Проверка показывает, почему нельзя оставить только первый угол. Ответ: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

Задача 2. Решите уравнение cos x = −½ на промежутке [0; 2π].

Сначала найдём все корни, а уже потом ограничим их заданным промежутком. Косинус равен −½ в углах 2π/3 и 4π/3 за один полный оборот. Промежуток [0; 2π] включает именно один полный оборот, включая его границы.

1. Определяем углы: cos(2π/3) = −½ и cos(4π/3) = −½.
2. Записываем общее решение: x = 2π/3 + 2πk или x = 4π/3 + 2πk, k ∈ Z.
3. Проверяем значения k. При k = 0 получаем углы внутри промежутка; при k = 1 они больше 2π, а при k = −1 меньше 0.

Оставляем только корни, попавшие в заданные границы, и проверяем их подстановкой. Оба угла дают косинус −½. Ответ: x = 2π/3; 4π/3.

Задача 3. Решите уравнение 2tg x − 2 = 0 и укажите корни на промежутке [−π; π].

Чтобы использовать правило для тангенса, сначала нужно оставить функцию tg x отдельно. Затем записать общий ответ с периодом π и подобрать целые k, чтобы углы попали в промежуток. Такая последовательность не позволяет случайно применить период синуса или косинуса.

1. Переносим и делим на 2: 2tg x − 2 = 0, значит tg x = 1.
2. Тангенс равен 1 при угле π/4, поэтому общее решение: x = π/4 + πk, k ∈ Z.
3. Подбираем k: при k = −1 получаем −3π/4, при k = 0 — π/4. При k = −2 угол меньше −π, а при k = 1 угол больше π.

Оба найденных корня принадлежат [−π; π], а добавление любого другого целого числа π выводит угол за пределы промежутка. Проверка: tg(−3π/4) = 1 и tg(π/4) = 1. Ответ: x = −3π/4; π/4.

Типичные ошибки

Для тангенса иногда записывают период 2π, как для синуса и косинуса. Из-за этого шаг между одинаковыми значениями получается слишком большим и часть корней пропадает. Ошибка возникает, если запомнить одну формулу на все функции. Проверь себя: прибавь к углу π и сравни значения тангенса — они совпадут.

В уравнении с синусом или косинусом могут указать только один угол. Часто ученик находит знакомое значение по таблице и забывает, что та же координата встречается в другой точке окружности. Для проверки нарисуй полный круг или найди второй угол: для синуса это обычно π − α, для косинуса — угол противоположного направления. После этого добавь период к обеим сериям.

Ещё одна ошибка — не проверить условие |a| ≤ 1 для синуса и косинуса. Тогда можно начать искать углы для значения, которое эти функции принять не могут. Это случается, когда сразу применяют формулу, не проверив исходные данные. Перед решением сравни a с границами −1 и 1: если оно вне этого промежутка, корней нет.

При решении на промежутке иногда оставляют всё общее решение или выбирают неподходящие k. В первом случае ответ содержит углы за указанными границами, во втором можно пропустить корень. Подставь выбранные целые k в формулу и сравни каждый угол с концами промежутка. Затем проверь, что других целых k, дающих угол внутри, не осталось.

Связь с другими темами

Перед решением таких уравнений нужны значения синуса, косинуса и тангенса основных углов, а также представление об их периодичности. Без этих знаний трудно определить подходящие углы и записать все корни. При преобразовании уравнений используются навыки решения линейных уравнений. Чтобы выбрать корни на промежутке, пригодится умение сравнивать числа и решать неравенства.

Эти способы становятся основой для более сложных тригонометрических уравнений. Тригонометрические функции также помогают описывать геометрические отношения и процессы, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Например, с помощью периодических моделей можно изучать колебания. Поэтому умение находить все корни полезно не только при решении уравнений.

Что запомнить

• В уравнении sin x = a или cos x = a решения возможны только при |a| ≤ 1.
• Синус и косинус имеют период 2π.
• Тангенс имеет период π.
• Общее решение должно включать все значения целого параметра k.
• Ответ на заданном промежутке получают отбором корней общего решения.
• Найденные корни можно проверить подстановкой в исходное уравнение.