З Занятие 2. Координаты и векторы в пространстве

Определения и обозначения

Прямоугольная система координат в пространстве — это три взаимно перпендикулярные оси Ox, Oy и Oz с общим началом O и выбранной единицей измерения. Она нужна, чтобы точно описывать положение предметов не только на плоскости, но и вокруг нас.

Координаты точки — упорядоченная тройка чисел A(x; y; z), показывающая положение точки по осям Ox, Oy и Oz. Порядок чисел нельзя менять: каждое из них относится только к своей оси.

Вектор в пространстве — направленный отрезок, у которого есть начало, конец, направление и длина. Он описывает перемещение: например, путь от точки A к точке B, записываемый как вектор AB.

Координаты вектора — три числа, равные изменениям координат при переходе от его начала к концу. Они показывают, на сколько единиц нужно переместиться вдоль каждой оси, чтобы попасть из одной точки в другую.

Как это устроено

На числовой прямой положение задаётся одной координатой, потому что двигаться можно только в одном направлении. На плоскости появляются два независимых направления, поэтому нужны оси Ox и Oy и две координаты. В пространстве добавляется третье направление, перпендикулярное первым двум, поэтому точку задают тройкой (x; y; z).

Чтобы нанести точку A(x; y; z), от начала O откладывают координату x вдоль оси Ox, затем y вдоль направления оси Oy и z вдоль оси Oz. Положительное число означает движение в положительном направлении оси, а отрицательное — в противоположном. Так каждая координата отвечает за отдельное перемещение, и все три вместе приводят к нужной точке.

Координаты вектора находят как разность координат конца и начала: если A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂), то AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁). Такое вычитание показывает именно изменение при движении от A к B. Если координата увеличилась, соответствующая разность положительна, а если уменьшилась — отрицательна.

Действия с векторами выполняют отдельно по каждому направлению. Например, (a; b; c) + (d; e; f) = (a + d; b + e; c + f), а при вычитании соответствующие координаты вычитают. При умножении вектора на число k каждую его координату умножают на k: k(a; b; c) = (ka; kb; kc).

Длину вектора находят по пространственному обобщению теоремы Пифагора: для вектора (a; b; c) это √(a² + b² + c²). Сначала квадраты координат складывают, а затем извлекают квадратный корень. Два вектора равны, если их координаты совпадают по всем трём местам, независимо от того, где они расположены.

Координаты точек и векторов в пространстве

В таблице собраны основные записи и действия. При решении задачи сначала определите, что дано: точка, вектор или действие над векторами, а затем применяйте правило из соответствующей строки.

Особенно внимательно следите за порядком координат и направлением вектора. Для проверки можно отдельно сравнить изменения по осям Ox, Oy и Oz.

Разбор задач

Задача 1. Даны точки A(2; −1; 3) и B(2; −1; −2). Определим, чем отличаются их координаты, и опишем положение точек относительно координатных плоскостей.

1. Сравним первые координаты: 2 и 2 совпадают. Вторые координаты тоже совпадают: −1 и −1.
2. Третьи координаты различаются: 3 и −2. Значит, точки находятся на одной линии, параллельной оси Oz, и отличаются положением по оси Oz.
3. У точки A координаты x и y ненулевые, а z = 3. У точки B z = −2. Поэтому ни одна из точек не лежит на координатной плоскости, так как для попадания на плоскость одна из соответствующих координат должна быть равна нулю.

Ответ: точки отличаются только третьей координатой; A расположена при z = 3, B — при z = −2, и обе не лежат на координатных плоскостях.

Задача 2. Даны A(1; 2; −1) и B(4; −2; 3). Найдём координаты вектора AB и его длину.

1. Вычитаем координаты начала A из координат конца B: AB = (4 − 1; −2 − 2; 3 − (−1)).
2. Получаем AB = (3; −4; 4). Это означает перемещение на 3 единицы по Ox, на 4 единицы в отрицательную сторону Oy и на 4 единицы по Oz.
3. Используем формулу длины: |AB| = √(3² + (−4)² + 4²) = √(9 + 16 + 16) = √41.

Ответ: AB = (3; −4; 4), |AB| = √41.

Задача 3. Пусть A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B) и C(x_C; y_C; z_C) заданы, а точка D неизвестна. Известно, что AB = CD. Найдём координаты D.

1. Запишем AB = (x_B − x_A; y_B − y_A; z_B − z_A).
2. Пусть D(x_D; y_D; z_D). Тогда CD = (x_D − x_C; y_D − y_C; z_D − z_C).
3. Приравниваем соответствующие координаты и выражаем неизвестные: x_D = x_C + x_B − x_A, y_D = y_C + y_B − y_A, z_D = z_C + z_B − z_A.

Ответ: D(x_C + x_B − x_A; y_C + y_B − y_A; z_C + z_B − z_A).

Типичные ошибки

Перестановка координат. Иногда числа записывают не в порядке x, y, z, потому что забывают о соответствии осей. Проверяйте каждое число по его оси и подписывайте промежуточные действия.

Неверное направление вычитания. Если от координат начала вычесть координаты конца, получится вектор BA, а не AB. Перед вычислением прочитайте запись слева направо: движение идёт от первой точки ко второй.

Смешение точки и вектора. Координаты точки описывают место, а координаты вектора — перемещение. Проверьте себя вопросом: это положение относительно O или изменение при переходе между двумя точками?

Ошибка в формуле длины. Нельзя просто складывать координаты: каждую сначала возводят в квадрат, а после сложения извлекают корень. Запишите формулу целиком и проверьте, что длина не получилась отрицательной.

Связь с другими темами

До этой темы нужны координатная прямая и координатная плоскость, действия с положительными и отрицательными числами, а также теорема Пифагора. Они помогают понимать оси, вычислять разности и находить длину вектора.

Дальше координаты пригодятся в геометрии, задачах на перемещения и расстояния между точками. С их помощью можно описывать положение объектов в пространстве без подробного чертежа.

Координатами пользуются физика, компьютерная графика и навигация. Например, три числа задают положение объекта в трёхмерной модели или направление движения.

Что запомнить

• Положение точки в пространстве задаётся тремя координатами.
• Координаты точки записывают в порядке x, y, z.
• Координаты вектора AB получают вычитанием координат точки A из координат точки B.
• Равные векторы имеют одинаковые координаты.
• При сложении и вычитании векторов действия выполняют отдельно с соответствующими координатами.
• Длина вектора вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат.
• Противоположные векторы имеют противоположные координаты и одинаковую длину.