З Занятие 3. Скалярное произведение

Определения и обозначения

Вектор — направленный отрезок, для которого важны длина и направление. Векторы обозначают строчными или прописными буквами со стрелкой, например ⃗a и ⃗b. Такое обозначение помогает отличать вектор от обычного числа или длины.

Скалярное произведение двух векторов — число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: a · b = |a| · |b| · cos α. Оно нужно, чтобы сравнивать направления векторов и исследовать угол между ними.

Угол между векторами — меньший угол, образованный направлениями двух ненулевых векторов. Его величина находится от 0° до 180°. Именно этот угол подставляют в формулу скалярного произведения.

Перпендикулярные векторы — векторы, угол между которыми равен 90°. Для таких векторов скалярное произведение равно нулю, поэтому с его помощью удобно проверять перпендикулярность.

Как это устроено

Результатом скалярного произведения является число, потому что в формуле перемножаются две длины и число cos α, а затем результаты перемножаются. Направление нового отрезка при этом не строится. Поэтому от двух векторов мы получаем скалярную величину, то есть одно число.

Формула a · b = |a| · |b| · cos α показывает, какая часть одного направления совпадает с другим. Если угол мал, cos α велик и положителен; если направления перпендикулярны, cos 90° = 0. При развороте больше чем на 90° косинус становится отрицательным, поэтому меняется и знак произведения.

Знак результата сразу сообщает вид угла. При остром угле косинус положителен, значит, положительно и скалярное произведение. При прямом угле оно равно нулю, а при тупом косинус отрицателен и произведение получается отрицательным.

На координатной плоскости для a = (x₁; y₁) и b = (x₂; y₂) используют правило a · b = x₁x₂ + y₁y₂. Оно получается из того, что координаты описывают взаимное расположение векторов по горизонтали и вертикали. Зная произведение, можно найти угол по формуле cos α = (a · b) / (|a| · |b|), если оба вектора ненулевые, или проверить перпендикулярность: произведение должно быть равно нулю.

Скалярное произведение векторов: формулы и выводы

Таблица помогает выбрать способ решения: если даны длины и угол, удобна первая формула, а при известных координатах — вторая. По знаку результата можно определить вид угла, а по нулевому значению — перпендикулярность ненулевых векторов.

Разбор задач

Задача 1. Найти скалярное произведение векторов длинами 5 и 4, если угол между ними равен 60°. Здесь известны все величины для геометрической формулы. Значение cos 60° равно ½.

1. Записываем формулу: a · b = |a| · |b| · cos α.
2. Подставляем данные: a · b = 5 · 4 · ½.
3. Выполняем умножение: 20 · ½ = 10.

Ответ: скалярное произведение равно 10.

Задача 2. Для a = (2; −3) и b = (4; 1) нужно вычислить произведение и определить вид угла. Перемножаем координаты, стоящие на одинаковых местах, а затем складываем результаты.

1. Находим произведение: a · b = 2 · 4 + (−3) · 1.
2. Считаем: 8 − 3 = 5.
3. Число 5 положительно, значит, угол между векторами острый.

Ответ: a · b = 5, угол острый.

Задача 3. Найти k, при котором a = (k; 2) и b = (3; −6) перпендикулярны. Перпендикулярность заменяем условием нулевого скалярного произведения.

1. Записываем: k · 3 + 2 · (−6) = 0.
2. Получаем уравнение 3k − 12 = 0.
3. Отсюда 3k = 12, поэтому k = 4.

Ответ: k = 4. При этом скалярное произведение равно нулю.

Типичные ошибки

Иногда скалярное произведение принимают за просто |a| · |b| и забывают множитель cos α. Так происходит, когда не учитывают угол между направлениями; проверьте, записана ли полная формула.

При вычислении по координатам ошибаются в парах или складывают только одно произведение. Координаты нужно перемножать строго по соответствующим местам: x₁ с x₂, y₁ с y₂, затем сложить оба результата.

Знак иногда определяют неверно и считают тупой угол положительным. Вспомните: косинус тупого угла отрицателен, поэтому и скалярное произведение отрицательно.

Нулевое произведение не всегда означает наличие нулевого вектора. Если оба вектора ненулевые, это признак перпендикулярности; если один вектор нулевой, произведение также будет нулём, но угол не определяется.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия вектора, его длины, координат и угла между векторами. Скалярное произведение продолжает координатный метод и использует знания о косинусе угла. Оно пригодится в геометрии и физике: с его помощью проверяют перпендикулярность, находят углы и исследуют направления.

Что запомнить

• Скалярное произведение двух векторов является числом.
• Формула: a · b = |a| · |b| · cos α.
• По координатам: a · b = x₁x₂ + y₁y₂.
• Если a · b = 0 и оба вектора ненулевые, то они перпендикулярны.
• Положительное произведение соответствует острому углу.
• Отрицательное произведение соответствует тупому углу.
• a · a = |a|².