З Занятие 3. Случайная величина

Определения и обозначения

Случайный опыт — действие, результат которого заранее неизвестен, хотя известны возможные исходы. Например, при броске кубика заранее известны числа от 1 до 6, но неизвестно, какое выпадет. Это понятие нужно, чтобы точно описать действие, по результату которого будем получать число.

Исход случайного опыта — один конкретный результат проведённого опыта. Если кубик показал 4, это один исход, а не весь список результатов. Перечисление исходов помогает не забыть ни один вариант при поиске значений.

Случайная величина — числовая величина, значение которой зависит от исхода случайного опыта. Например, можно считать число орлов при бросках монеты или число очков на кубике. Она нужна для того, чтобы описывать результаты опыта числами и сравнивать их.

Возможные значения случайной величины — все числа, которые она может принять в результате опыта. Для одного броска монеты это 0 и 1, если считается число орлов. Такой список показывает, какие значения действительно могут появиться, а какие невозможны.

Как это устроено

Результат опыта называют случайным не потому, что условия неизвестны, а потому, что заранее нельзя выбрать конкретный исход. Мы можем знать, что у кубика шесть граней, но до броска не знаем, какая окажется сверху. Поэтому один и тот же опыт при одинаковых условиях способен закончиться разными исходами.

Чтобы получить случайную величину, каждому исходу ставят в соответствие число по заранее выбранному правилу. Например, исходу «орёл» можно присвоить 1, а исходу «решка» — 0. После проведения опыта число определяется автоматически: достаточно узнать, какой исход произошёл.

Разные исходы могут давать одно и то же значение, потому что случайная величина описывает не весь исход, а только выбранный признак. При двух бросках монеты орёл–решка и решка–орёл — разные последовательности, но в каждой ровно один орёл. Поэтому обе последовательности соответствуют одному числу 1.

Множество возможных значений находят так: сначала перечисляют все исходы опыта, затем применяют к каждому правило и выписывают полученные числа. Повторяющиеся числа оставляют один раз, поскольку речь идёт именно о множестве значений. Если число не получилось ни для одного исхода, включать его в ответ нельзя.

Случайное событие описывает факт, например «на кубике выпало чётное число», и обычно отвечает на вопрос «произошло ли это?». Случайная величина отвечает числом, например показывает число выпавших очков или количество орлов. Один и тот же опыт может одновременно задавать и события, и случайные величины.

Примеры случайных опытов и случайных величин

Сначала прочитайте первый столбец и определите все исходы опыта. Затем проверьте, какое число соответствует каждому исходу, и сравните его со списком возможных значений. Повторы в последнем столбце не добавляют новых значений.

Разбор задач

Задача 1

Монету подбрасывают один раз, а X — число выпавших орлов. Нужно найти возможные значения X и значение для каждого исхода. У монеты два исхода, поэтому рассмотрим оба.

1. Если выпала решка, орлов нет, значит X = 0.
2. Если выпал орёл, число орлов равно 1, значит X = 1.
3. Собираем полученные числа и получаем множество {0, 1}.

Ответ: возможные значения X — 0 и 1; решка соответствует X = 0, орёл — X = 1. Здесь каждый исход даёт своё значение.

Задача 2

Кубик бросают один раз. Величина Y равна выпавшему чётному числу, если оно чётное, и 0, если оно нечётное. Нужно учитывать не только правило, но и все шесть исходов кубика.

1. При выпадении 1, 3 или 5 число нечётное, поэтому во всех трёх случаях Y = 0.
2. При выпадении 2, 4 или 6 число чётное, поэтому получаем соответственно Y = 2, Y = 4 и Y = 6.
3. Убираем повторы и записываем все результаты: 0, 2, 4, 6.

Ответ: возможные значения Y: 0, 2, 4, 6. Три разных исхода дают одно значение 0.

Задача 3

Монету подбрасывают два раза, а Z — число орлов. При сложном опыте важно перечислить последовательности, а не только отдельные стороны монеты. Запишем каждый исход и применим к нему правило подсчёта.

1. Решка–решка: орлов нет, поэтому Z = 0.
2. Орёл–решка и решка–орёл: в каждом исходе один орёл, поэтому Z = 1.
3. Орёл–орёл: два орла, поэтому Z = 2; возможные значения — 0, 1, 2.

Ответ: исходы имеют значения 0, 1, 1 и 2 соответственно, а множество возможных значений Z равно {0, 1, 2}. Две разные последовательности действительно дали одинаковое число.

Типичные ошибки

Считать случайной величиной сам исход. Слово «орёл» или запись «орёл–решка» обозначают исход, а не числовую величину. Ошибка появляется, когда забывают правило перевода результата в число. Проверьте себя: рядом с каждым исходом должно стоять число.

Записывать только один результат. Один проведённый опыт даёт один исход, но задача обычно спрашивает все возможные значения. Поэтому ответ только «0» или только «1» неполон. Сначала составьте список всех исходов, а затем примените правило к каждому.

Указывать невозможные значения. Иногда в ответ добавляют число, которое не может получиться при данном опыте. Так бывает, если ориентируются на знакомые числа, а не на условие задачи. Проверьте каждое значение вопросом: есть ли исход, который его даёт?

Считать разные исходы разными значениями. Исходы могут различаться, но результат подсчёта у них бывает одинаковым. Например, две последовательности с одним орлом обе дают число 1. Сравнивайте не названия исходов, а полученные после правила числа.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать, что такое случайный опыт, его исход и случайное событие, а также уметь перечислять варианты. Эти навыки помогают составить полный список результатов и не пропустить значение случайной величины.

Дальше случайные величины пригодятся при составлении таблиц результатов опытов, изучении вероятностей и обработке статистических данных. Числовое описание позволяет подсчитывать результаты, сравнивать их и находить закономерности.

Что запомнить

• Случайный опыт имеет заранее известные возможные исходы, но неизвестный результат.
• Случайная величина численно описывает результат случайного опыта.
• Каждому исходу случайного опыта соответствует определённое значение случайной величины.
• Множество возможных значений включает только те числа, которые действительно могут появиться.
• Разные исходы могут давать одинаковое значение случайной величины.
• Чтобы определить случайную величину, нужно знать опыт, правило соответствия и возможные значения.