"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Повторные испытания — это несколько опытов, проведённых по одной схеме: например, многократные броски монеты. Отдельный результат может быть случайным, поэтому один опыт не всегда помогает понять, как часто происходит событие. Если записать результаты всей серии и подсчитать появления события, можно найти его частоту: число появлений делят на число испытаний. Чем длиннее серия, тем обычно устойчивее частота и тем лучше она помогает оценить вероятность.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Повторные испытания — несколько испытаний, проводимых по одной и той же схеме. Например, можно много раз подбрасывать одну и ту же монету и каждый раз смотреть, какая сторона выпала. Это нужно, чтобы наблюдать не только один случайный результат, но и результаты целой серии.
Независимые испытания — испытания, в которых результат одного опыта не влияет на результаты следующих. При бросках монеты выпавшая сторона не меняет саму монету и не задаёт исход следующего броска. Это понятие помогает не ожидать, что прошлый результат обязательно повторится или сменится.
Частота события — отношение числа появлений события к общему числу испытаний. Её находят делением: частота = число появлений события / число испытаний. Частота нужна, чтобы описать результаты серии числом и сравнить их с другими наблюдениями.
Серия испытаний — последовательность повторных опытов с фиксацией результата каждого опыта. Например, можно записать отдельно исход каждого броска монеты, а затем подсчитать гербы. Такая запись помогает не полагаться на память и правильно вычислить частоту.
Чтобы изучить случайное событие, обычно проводят не один, а несколько одинаковых опытов. При единственном опыте событие либо произошло, либо нет, и этого недостаточно, чтобы понять, часто ли оно возникает. Например, один бросок монеты не показывает, сколько раз обычно выпадает герб. Серия опытов даёт больше наблюдений и позволяет искать закономерность в случайных результатах.
Серию организуют так, чтобы каждый опыт проводился по одной схеме и его результат записывался отдельно. Для бросков монеты можно после каждого броска отмечать герб или решку, а не заносить только итоговое число гербов. Отдельная запись помогает проверить подсчёты и увидеть всю последовательность результатов. Если пропустить часть исходов, вычисленная частота может оказаться неверной.
Даже при одинаковых условиях независимые испытания могут дать разные результаты. В случайном опыте нельзя заранее назначить исход каждого испытания, поэтому монета может несколько раз подряд показать одну сторону. Это не означает, что следующий результат обязан отличаться: прошлые исходы на него не влияют. Одинаковая схема нужна для честного сравнения опытов, но она не делает их результаты одинаковыми.
Чтобы найти частоту события, сначала считают, сколько раз оно произошло, а затем делят это число на общее количество испытаний. Если герб выпал 6 раз за 10 бросков, частота равна 6/10, то есть 0,6. Она может быть записана дробью или десятичным числом. Нельзя забывать деление: само число появлений ещё не показывает долю события во всей серии.
При увеличении числа испытаний частота обычно становится более устойчивой и приближается к вероятности события. В короткой серии случайное отклонение может быть большим: например, герб способен выпасть заметно чаще или реже половины бросков. В длинной серии отдельные отклонения обычно меньше влияют на общую долю. Это закономерность, а не обещание точного совпадения в любой серии.
| Характеристика | Одно испытание | Повторные испытания |
|---|---|---|
| Количество опытов | один опыт | несколько одинаковых опытов |
| Фиксация результата | записывают один исход | записывают исход каждого опыта |
| Появление события | событие произошло или не произошло | подсчитывают число появлений события |
| Частота события | не определяется по одному опыту | число появлений события делят на число испытаний |
| Назначение | наблюдение отдельного результата | изучение устойчивости результатов и оценка вероятности |
Сравнивайте строки таблицы по одной характеристике: так легче увидеть, что именно даёт повторение опытов. Для вычисления частоты нужна серия, потому что должны быть известны и число появлений события, и общее число испытаний. При оценке закономерности учитывайте размер серии.
Монету подбросили 10 раз, герб выпал 6 раз. Найдите частоту выпадения герба. Здесь событие — выпадение герба, а число его появлений уже дано в условии. Чтобы получить частоту, нужно сравнить это число со всеми десятью бросками.
Ответ: частота выпадения герба равна 0,6, или 60%. Это доля гербов в данной серии, а не гарантия, что в любой серии из десяти бросков получится ровно шесть гербов.
Игральную кость бросили 30 раз, число 5 выпало 4 раза. Найдите частоту события и сравните её с теоретической вероятностью выпадения пятёрки. Считаем событием выпадение пятёрки, а все броски — испытаниями. У правильной кости шесть равновозможных граней, и только одна из них несёт число 5.
Ответ: частота равна 2/15, или примерно 0,133, а теоретическая вероятность равна 1/6, или примерно 0,167. Они не совпали, потому что частота получена по конкретным 30 броскам и зависит от их результатов. Такая разница не доказывает, что кость неправильная.
В двух сериях бросков монеты получили частоту выпадения герба 0,4 и 0,52. В первой серии было 10 бросков, во второй — 100. Нужно определить, какая серия лучше показывает закономерность. Сравнивать только сами частоты недостаточно: нужно учитывать, сколько опытов за каждой из них стоит.
Ответ: закономерность лучше показывает вторая серия. Её частота 0,52 получена по 100 броскам и ближе к 0,5, чем частота 0,4 первой серии. Однако даже большая серия не гарантирует точного совпадения частоты с вероятностью.
Ошибка — назвать частотой только число появлений события, например 6 гербов. Так происходит, если забыть, что частота показывает долю событий среди всех опытов. Проверьте себя: в записи обязательно должны присутствовать число появлений и общее число испытаний, а результат деления не должен превышать 1.
Некоторые считают, что в повторных опытах результаты обязаны чередоваться или быть одинаковыми. Так можно подумать, ожидая закономерного порядка, но независимые исходы не подстраиваются друг под друга. Проверьте себя: одинаковые условия не предписывают порядок результатов, поэтому возможны подряд и гербы, и решки.
Ошибка — считать частоту точной вероятностью события. Частоту получают из конкретных наблюдений, и в другой серии она может измениться. Чтобы проверить себя, назовите отдельно экспериментальную частоту и теоретическую вероятность, если последняя известна; не заменяйте одно понятие другим.
Нельзя без оглядки сравнивать частоты серий разного размера и делать вывод по одному числу. Частота серии из 10 опытов может заметно колебаться, а серия из 100 испытаний обычно даёт более устойчивую оценку. Перед выводом проверьте объём каждой серии и учтите, сколько раз проводили опыт.
До изучения повторных испытаний полезно знать, что такое случайное событие и исход испытания. Исход — это конкретный результат опыта, например герб при броске монеты; событием может быть заранее выбранный результат или группа результатов. Для нахождения частоты нужны дроби и деление: число появлений события делят на общее количество опытов.
Эта тема пригодится при дальнейшем изучении вероятности и статистики. В вероятности частоту сравнивают с теоретической оценкой события, а в статистике собирают и обрабатывают результаты наблюдений. Такой подход используют и в экспериментах, когда важно не только получить отдельный результат, но и понять, как часто он повторяется.
Зачем повторять одно и то же испытание много раз?
Один опыт показывает только один случайный результат. В серии опытов можно подсчитать, как часто происходило событие, и оценить его вероятность. Повторение помогает увидеть закономерность, которая не заметна по одному результату.
Чем частота события отличается от его вероятности?
Частоту находят по результатам конкретной серии: число появлений события делят на число испытаний. Вероятность описывает, насколько событие ожидаемо при заданных условиях. Частота может меняться от серии к серии, а при большом числе испытаний обычно приближается к вероятности.
Могут ли результаты независимых испытаний влиять друг на друга?
Нет, в независимых испытаниях результат одного опыта не меняет результаты следующих. Например, выпадение герба при одном броске монеты не заставляет монету в следующий раз показать определённую сторону. Результаты всё равно могут случайно совпасть или различаться.
Почему частота не всегда совпадает с теоретической вероятностью?
Частота зависит от того, какие результаты выпали именно в этой серии, а случайные результаты могут распределиться неравномерно. При небольшом числе опытов отклонение бывает заметным. С увеличением числа испытаний частота обычно становится устойчивее.
Сколько испытаний нужно провести, чтобы получить надёжный результат?
Точного числа, подходящего для всех опытов, нет. Чем больше испытаний, тем надёжнее обычно оценка, но небольшое отличие частоты от вероятности всё равно возможно. Поэтому при сравнении результатов нужно учитывать и число опытов.
З Занятие 2. Повторные испытания
