З Занятие 1. Вероятность и ее свойства

Определения и обозначения

Случайный опыт — действие, результат которого заранее нельзя точно предсказать. Например, нельзя заранее знать, какой стороной упадёт брошенная монета. Это понятие помогает отличать такие действия от тех, результат которых известен заранее.

Исход — один из возможных результатов случайного опыта. При броске кубика исходами будут числа от 1 до 6. Перечисляя исходы, мы задаём границы задачи и можем проверить, не забыли ли какой-нибудь возможный результат.

Событие — совокупность исходов, обладающих указанным признаком. Например, событие «выпало чётное число» при броске кубика состоит из исходов 2, 4 и 6. Такое описание позволяет объединить разные результаты, подходящие под одно условие.

Вероятность события — число, показывающее степень возможности его наступления. Обычно вероятность события A обозначают P(A). По её значению можно сравнивать события: чем ближе вероятность к 1, тем событие вероятнее, а значение 0 означает невозможность события.

Как это устроено

Чтобы описать случайный опыт, составляют множество всех его возможных исходов. Например, у обычного кубика это 1, 2, 3, 4, 5, 6. Полный список важен: если пропустить исход, расчёт будет неверным, потому что знаменатель вероятности должен учитывать все варианты, которые действительно могут произойти.

При равновозможных исходах каждый вариант имеет одинаковые шансы. Поэтому можно считать исходы как одинаковые по весу части: если условию подходят некоторые из них, вероятность равна доле подходящих частей среди всех. Так получают формулу P(A) = число благоприятных исходов / число всех исходов. Она работает именно при равных шансах, например для обычного кубика, но не для специально утяжелённого.

Вероятность не может быть меньше 0, потому что количество подходящих исходов не бывает отрицательным. Она не может быть больше 1, так как благоприятные исходы входят во множество всех исходов и не могут численно превосходить его. Если все исходы подходят событию, их отношение равно 1; если не подходит ни один — равно 0.

Невозможное событие не может произойти в данном опыте: при броске обычного кубика нельзя получить 8. Достоверное событие обязательно произойдёт, например выпадет число от 1 до 6. Случайное событие может наступить, но не гарантировано: при том же броске может выпасть чётное число, а может — нечётное.

Для события A противоположным называют событие «A не произошло». В опыте обязательно наступает ровно одно из них, поэтому вместе они охватывают все исходы, не пересекаясь. Их вероятности в сумме дают 1: P(A) + P(не A) = 1. Если посчитать вероятность противоположного события проще, искомую находят вычитанием из 1.

Основные виды событий и свойства вероятности

Сначала найдите строку, подходящую к условию задачи, и проверьте, действительно ли выполнено указанное условие. Если исходы равновозможны, используйте отношение количеств, а для противоположных событий — сумму вероятностей, равную 1.

Разбор задач

Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения чётного числа. У обычного кубика шесть равновозможных исходов, а чётными могут быть только некоторые из них. Поэтому сначала выпишем полный набор результатов, затем выделим подходящие.

1. Перечислим все исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Всего их 6, и каждый возможен с одинаковым шансом.

2. Выделим благоприятные исходы: 2, 4, 6. Их 3, потому что именно эти числа делятся на 2 без остатка.

3. Разделим количество благоприятных исходов на общее количество: P = 3 / 6 = 1 / 2. Ответ: вероятность равна 1 / 2.

Монету бросают два раза. Найдите вероятность того, что хотя бы один раз выпадет орёл. Событие «хотя бы один орёл» включает несколько вариантов, а его противоположное событие — два раза выпала решка — описывается проще. Используем равновозможность четырёх возможных пар результатов.

1. Запишем все пары: орёл—орёл, орёл—решка, решка—орёл, решка—решка. Всего 4 равновозможных исхода.

2. Для противоположного события подходит только пара решка—решка. Значит, его вероятность равна 1 / 4.

3. Вычтем вероятность противоположного события из 1: 1 − 1 / 4 = 3 / 4. Ответ: вероятность хотя бы одного орла равна 3 / 4.

Два игральных кубика бросают одновременно. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7. Здесь исходом будет пара чисел: первое показывает результат одного кубика, второе — другого. Все 36 пар равновозможны, поэтому можно применить классическое определение вероятности.

1. У каждого кубика 6 результатов, значит, пар исходов 6 · 6 = 36. Порядок учитываем: например, (1, 6) и (6, 1) — разные исходы.

2. Перечислим пары с суммой 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1). Таких благоприятных исходов 6.

3. Найдём отношение: P = 6 / 36 = 1 / 6. Ответ: вероятность получить сумму 7 равна 1 / 6.

Типичные ошибки

• Иногда в общее число исходов включают только подходящие варианты. Так происходит, если не составить полный список результатов. Проверьте себя: перечислите все возможные исходы опыта, а уже после этого отметьте благоприятные.

• Формулу отношения применяют, не проверив равновозможность исходов, или считают равными шансы, которые на самом деле различаются. Это случается, когда правило механически переносят на любой случайный опыт. Уточните условия опыта: одинаковы ли шансы у каждого результата?

• Вероятность путают с количеством исходов и записывают числом больше 1 или меньше 0. Причина — в пропущенном делении или неверно выбранных числителе и знаменателе. Проверьте, что вероятность записана как отношение и находится в промежутке от 0 до 1.

• Для противоположного события иногда оставляют ту же вероятность, что и у события A. Но противоположные события делят между собой все варианты, поэтому их вероятности дополняют друг друга до 1. Запишите P(не A) = 1 − P(A) и проверьте, что сумма получается равной 1.

Связь с другими темами

Для вычисления вероятности пригодятся обыкновенные дроби, отношение величин и деление: результат часто записывают дробью. Систематический перебор вариантов помогает составить полный список исходов, особенно если опыт повторяется несколько раз или задействованы два кубика. Вероятность связана с комбинаторикой, где считают число возможных вариантов, и со статистикой, где изучают частоту событий в повторяющихся опытах. Эти знания помогают описывать случайность и оценивать, как часто событие может происходить на практике.

Что запомнить

• Вероятность описывает возможность наступления события.
• При равновозможных исходах P(A) равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов.
• Вероятность любого события находится в промежутке от 0 до 1.
• Вероятность невозможного события равна 0.
• Вероятность достоверного события равна 1.
• Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.