"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Интегральная величина показывает свойство целого объекта, которое можно получить из значений для его частей. Например, длина составного отрезка равна сумме длин его частей, а площадь фигуры без наложений — сумме площадей частей. Такое свойство называют аддитивностью. Оно помогает находить длины, площади и объёмы сложных объектов, разбивая их на более простые. Для правильного сложения части не должны перекрываться, а единицы измерения должны быть одинаковыми.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Интегральная величина — величина, значение которой для целого объекта складывается из значений для его частей. Например, чтобы найти длину длинного отрезка, можно измерить его части и сложить результаты. Такое представление удобно, когда целое измерить трудно, а его части проще.
Аддитивность — свойство величины, при котором её значение для целого равно сумме значений для непересекающихся частей. Если куски ленты лежат один за другим и не перекрываются, длина всей ленты получается сложением длин кусков. Это свойство помогает рассчитывать целое по известным частям.
Однородные части — части объекта, для которых можно измерить одну и ту же величину, а затем сложить результаты. Например, у нескольких частей одной плоской фигуры можно измерить площадь каждой. Это нужно, чтобы складывались именно сопоставимые значения: площади с площадями, а длины с длинами.
Чтобы найти величину для целого, сначала представь его как набор частей, затем измерь каждую часть и сложи результаты. Такой способ работает, если части вместе составляют целый объект и не перекрывают друг друга. Иначе в сумме появятся лишние значения или, наоборот, какая-то область останется неучтённой. Например, длину дорожки можно найти, сложив длины её последовательных участков.
Длина составленного отрезка равна сумме длин его частей, потому что части располагаются одна за другой. Если первая часть имеет длину 4 см, а вторая — 3 см, весь отрезок занимает 7 см по прямой. Общих участков у частей нет, поэтому каждый сантиметр учитывается ровно один раз. При наложении частей сумма длин уже не описывала бы длину получившегося отрезка.
Площадь прямоугольника можно найти сложением площадей прямоугольников, на которые его разделили без наложений. Каждая маленькая фигура занимает свою часть плоскости, а вместе они закрывают весь большой прямоугольник. Значит, сумма площадей считает всю его поверхность и ничего не считает повторно. Если части перекрываются или между ними оставлен пробел, сложение не даст площадь исходной фигуры.
Не всякая величина обладает аддитивностью. Например, температура показывает, насколько тело нагрето, а не количество отдельных частей, поэтому температуры частей нельзя сложить, чтобы получить температуру целого. Для длины, площади и объёма сложение частей подходит при правильном разбиении, а для другой величины нужно отдельно выяснить, как её находят. Это убережёт от переноса правила на неподходящие задачи.
Перед сложением проверь единицы измерения: складывать можно значения, выраженные в одинаковых единицах. Например, 1 м и 30 см сначала можно записать как 100 см и 30 см, а затем сложить. У площади единицы тоже должны совпадать: квадратные сантиметры нельзя напрямую складывать с квадратными метрами. Сначала переведи одно значение, а после сложения укажи общую единицу.
В таблице собраны величины, для которых можно находить значение целого сложением значений частей, если части не перекрываются. Сначала определи, что именно измеряешь, затем выбери подходящий способ разбиения. Перед сложением проверь, что единицы одинаковы.
| Величина | Что измеряет | Как найти значение для целого | Пример разбиения |
|---|---|---|---|
| Длина | Путь или протяжённость | Сложить длины неперекрывающихся частей | Отрезок из нескольких отрезков |
| Площадь | Размер плоской фигуры | Сложить площади частей без наложения | Прямоугольник, разбитый на меньшие прямоугольники |
| Объём | Вместимость или пространство, занимаемое телом | Сложить объёмы частей, не занимающих одно и то же место | Тело, составленное из нескольких брусков |
Задача 1. Отрезок состоит из двух частей длиной 8 см и 5 см. Найдите длину всего отрезка. Части отрезка не перекрываются и идут одна за другой, поэтому применима аддитивность длины. Нужно сложить их длины, оставив результат в сантиметрах.
Ответ: длина всего отрезка — 13 см. Проверка проста: если мысленно убрать одну часть, останется отрезок короче целого на длину убранной части. Поэтому сложение соответствует устройству целого.
Задача 2. Прямоугольник разбили на две неперекрывающиеся части площадью 18 см² и 27 см². Найдите площадь прямоугольника. Обе части вместе составляют весь прямоугольник, а общих участков у них нет. Значит, площади можно сложить, и в сумме каждая точка фигуры будет учтена один раз.
Ответ: площадь прямоугольника — 45 см². Здесь не требуется знать длины сторон: для нахождения площади целого достаточно площадей частей. Если бы одна часть накладывалась на другую, её общую площадь пришлось бы учитывать отдельно.
Задача 3. Фигура составлена из трёх неперекрывающихся прямоугольников площадью 12 см², 20 см² и 15 см². Найдите её площадь и объясните, почему результаты можно сложить. Разбиение на три части устроено так же, как разбиение на две, только слагаемых больше. Условие о том, что прямоугольники не перекрываются, позволяет применить аддитивность площади.
Ответ: площадь фигуры — 47 см². Сложение верно, потому что все части имеют одну и ту же величину — площадь, а их общие области отсутствуют. Поэтому ни одна часть фигуры не посчитана дважды.
Первая ошибка — сложить значения, если части перекрываются. Тогда общая область попадёт в сумму два раза, хотя в целом она одна. Это случается, когда не проверяют само разбиение; для проверки представь части на чертеже и убедись, что они соприкасаются только границами, но не накладываются.
Вторая ошибка — складывать числа с разными единицами, например метры и сантиметры. Такие числа показывают разные количества одной величины, поэтому сначала нужно перевести одно значение в единицы другого. Проверь запись перед вычислением: после перевода рядом с каждым слагаемым должны стоять одинаковые обозначения единиц.
Третья ошибка — считать аддитивной любую величину и складывать температуры частей. Температура не равна сумме температур отдельных частей, хотя длины и площади часто можно находить сложением. Перед вычислением спроси себя, действительно ли значение для целого складывается из значений частей; если правило не подходит, найди другой способ.
Четвёртая ошибка — вместо сложения площадей частей умножать их стороны. Умножение сторон используют, когда известны подходящие размеры прямоугольника, а при готовых площадях частей нужно сложить эти площади. Чтобы проверить выбор действия, перечитай данные задачи: если даны площади частей и они не перекрываются, сложение даёт площадь целого.
Для работы с интегральными величинами нужны знания единиц длины, площади и объёма. Также важно уметь переводить единицы и складывать числа, иначе правильный способ разбиения не поможет получить верный ответ. Например, при сложении площадей сначала приводят все значения к квадратным сантиметрам или квадратным метрам.
Аддитивность пригодится при вычислении площади и объёма сложных фигур, составленных из простых частей. Вместо того чтобы искать сложную формулу для всего объекта, его можно разбить на прямоугольники или бруски и найти значение для каждой части. Затем результаты складывают, если части не перекрываются.
Что называют интегральной величиной?
Это величина, значение которой для целого объекта складывается из значений для его частей. Например, длину составного отрезка можно найти по длинам его неперекрывающихся частей.
Почему площадь целой фигуры равна сумме площадей её частей?
Если части полностью составляют фигуру и не накладываются друг на друга, каждая часть занимает свою область. Поэтому площадь целого равна сумме площадей этих областей.
Можно ли складывать площади частей, если они перекрываются?
Нет: общая область будет учтена дважды. Сначала нужно разделить фигуру на части без наложений или отдельно убрать повторно посчитанную площадь.
Нужно ли переводить величины в одинаковые единицы перед сложением?
Да, иначе числа относятся к разным единицам и их нельзя складывать напрямую. Например, перед сложением метров и сантиметров нужно выразить оба значения в метрах или в сантиметрах.
Почему нельзя складывать температуры частей тела?
Температура не показывает, сколько отдельных частей сложилось в целое, и не является аддитивной величиной. Температуру целого тела находят не простым сложением температур его частей.
Беседа. Интегральные величины
