З Занятие 3. Пространственные тела

Определения и обозначения

Пространственное тело — объёмная геометрическая фигура, занимающая часть пространства. В отличие от плоской фигуры, оно имеет длину, ширину и высоту. Это понятие нужно, чтобы описывать не только контуры предметов, но и их объёмную форму.

Многогранник — пространственное тело, поверхность которого составлена из многоугольников. Каждый такой многоугольник является плоской частью поверхности тела. Понятие помогает отличать куб и другие тела с плоскими гранями от шара или цилиндра.

Грань — многоугольник, ограничивающий многогранник. Грань не является отдельным объёмным телом: это плоский участок внешней поверхности. По граням можно описывать форму многогранника и подсчитывать его части.

Ребро — общая сторона двух граней многогранника, а вершина — точка, в которой сходятся рёбра. Рёбра образуют границы граней, а вершины соединяют несколько рёбер. Эти названия позволяют точно описывать строение куба, параллелепипеда и других многогранников.

Как это устроено

Для плоской фигуры обычно достаточно длины и ширины, потому что она расположена на плоскости. У пространственного тела есть ещё высота: без неё нельзя понять, насколько предмет вытянут вверх или вглубь. Поэтому объёмные фигуры рассматривают в трёх измерениях.

Тело отделено от окружающего пространства поверхностью, как вода в сосуде отделена стенками сосуда. Внутренняя часть занимает объём, а поверхность является только границей этого объёма. Если говорить о поверхности мяча, имеют в виду его внешнюю оболочку, а не всё пространство внутри мяча.

У многогранника поверхность состоит из плоских многоугольников, потому что каждая её часть лежит в некоторой плоскости. Грани соприкасаются сторонами: сторона, общая для двух граней, становится ребром. В местах встречи нескольких рёбер образуются вершины.

Тела с плоскими гранями имеют поверхность, которую можно разбить на многоугольники: так устроены куб и прямоугольный параллелепипед. У шара вся поверхность кривая, у цилиндра есть кривaя боковая поверхность, а у конуса — кривая боковая поверхность и плоское основание. Поэтому цилиндр и конус не относят к многогранникам, хотя у них есть плоские части.

Пространственное тело можно найти в знакомом предмете, если мысленно убрать материал и оставить только форму. Коробка похожа на прямоугольный параллелепипед, мяч — на шар, банка — на цилиндр, а дорожный ограничитель — на конус. Затем удобно назвать основания, боковую поверхность, грани, рёбра или вершины, если они есть.

Пространственные тела и их особенности

Сначала определите, поверхность тела плоская или кривая. Затем по таблице найдите его основные части и сравните форму с предметом из последнего столбца.

Если у тела встречаются многоугольные грани, можно дополнительно подсчитать рёбра и вершины. Наличие круглого основания ещё не делает тело многогранником, потому что круг не является многоугольником.

Разбор задач

Задача 1. Плоская или пространственная фигура

На рисунке изображены квадрат, куб и шар. Нужно разделить их на плоские фигуры и пространственные тела. Главное — определить, есть ли у объекта три измерения.

1. Квадрат имеет длину и ширину, но не имеет высоты как объёмной части. Значит, это плоская фигура.
2. Куб имеет длину, ширину и высоту, а внутри него можно выделить объём. Значит, это пространственное тело.
3. Шар также занимает часть пространства и имеет три измерения, хотя его поверхность кривая. Следовательно, он является пространственным телом.

Ответ: квадрат — плоская фигура, куб и шар — пространственные тела. Различие определяется числом измерений и наличием объёма.

Задача 2. Определение многогранника по частям

У модели 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Нужно назвать подходящее знакомое тело и объяснить выбор по строению, а не только по внешнему виду.

1. Сравним числа с известными многогранниками. У куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
2. Все грани куба — квадраты, а у прямоугольного параллелепипеда они прямоугольники. Если на модели грани квадратные, это куб.
3. Одних чисел недостаточно, чтобы отличить куб от любого прямоугольного параллелепипеда: у него также может быть 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Поэтому нужно посмотреть на форму граней.

Ответ: подходящее тело — куб, если все его грани квадратные. По указанным числам также возможен прямоугольный параллелепипед, поэтому для полного распознавания нужно учитывать форму граней.

Задача 3. Модели предметов

Для мяча, банки и дорожного конуса нужно подобрать геометрические модели и определить плоские и кривые части поверхности. Сначала узнаем форму предмета, затем перечислим части его поверхности.

1. Мяч похож на шар. Его поверхность полностью кривая, плоских частей у модели нет.
2. Банка похожа на цилиндр. У неё два плоских круглых основания и кривая боковая поверхность.
3. Дорожный конус похож на конус. У него есть одно плоское круглое основание и кривая боковая поверхность, сходящаяся к вершине.

Ответ: мяч — шар с кривой поверхностью; банка — цилиндр с двумя плоскими основаниями и кривой боковой поверхностью; дорожный конус — конус с плоским основанием и кривой боковой поверхностью.

Типичные ошибки

Ошибка: называть гранью всё пространственное тело. Так происходит, потому что слово «грань» иногда связывают со всей внешней стороной предмета. Проверьте себя: грань — только плоский многоугольник на поверхности многогранника.

Ошибка: считать ребром любую заметную линию на рисунке. Линия может показывать контур или невидимую часть изображения, но ребро обязательно является общей стороной двух граней. Чтобы проверить ответ, найдите две грани, которые соединяет эта линия.

Ошибка: путать тело с его поверхностью. Это происходит, когда рассматривают только внешнюю оболочку предмета. Представьте, что тело разрезали: внутреннее пространство относится к телу, а граница вокруг него — к поверхности.

Ошибка: считать шар многогранником. У шара нет плоских многоугольных граней, потому что вся его поверхность кривая. Если поверхность нельзя составить из многоугольников, тело не является многогранником.

Связь с другими темами

До изучения пространственных тел нужно знать плоские фигуры и многоугольники, а также различать сторону и вершину многоугольника. Это помогает понять, как стороны становятся рёбрами, а многоугольники — гранями объёмного тела.

Тема понадобится при изучении объёма и площади поверхности тел. Она также полезна в практических задачах о коробках, упаковках, банках и других предметах, где нужно определить форму и размеры.

Что запомнить

• Пространственное тело занимает часть пространства.
• Поверхность ограничивает тело, но не тождественна ему.
• Многогранник составлен из плоских многоугольных граней.
• Ребро — общая сторона двух граней.
• Вершина — точка соединения рёбер.
• У шара кривая поверхность и нет граней, рёбер и вершин.