"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Теорема Ньютона — Лейбница связывает производную и определённый интеграл. Она позволяет находить площадь под графиком и другие накопленные величины не сложным подсчётом, а разностью значений первообразной на концах отрезка. Для вычисления нужно найти функцию F(x), производная которой равна f(x), а затем подставить верхний и нижний пределы: ∫ от a до b f(x) dx = F(b) − F(a).
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Первообразная функции — функция F(x), производная которой равна исходной функции f(x): F′(x) = f(x). Например, для f(x) = 2x первообразной будет F(x) = x². Она нужна, чтобы заменить сложное накопление простым вычислением значений.
Определённый интеграл — число, выражающее накопленную величину или площадь под графиком функции на отрезке [a; b]. Запись ∫ от a до b f(x) dx показывает функцию и границы отрезка. Интеграл помогает учитывать результат постепенно, от одной точки до другой.
Формула Ньютона — Лейбница — правило вычисления определённого интеграла через первообразную: ∫ от a до b f(x) dx = F(b) − F(a). Вместо подсчёта множества маленьких частей достаточно найти F(x) и выполнить два подстановочных действия. Поэтому формула значительно упрощает задачи на площади и накопленные величины.
Дифференциал и интеграл как взаимно обратные действия означают, что производная показывает скорость изменения, а интеграл собирает эти изменения в общий результат. Если известна скорость движения, интеграл помогает найти пройденный путь. Связь этих действий и выражает теорема Ньютона — Лейбница.
Для вычисления определённого интеграла достаточно найти одну первообразную, потому что производная уже связывает её с подынтегральной функцией. Все первообразные одной функции отличаются только постоянным числом C. Теорема показывает, что при вычитании значений на концах эта постоянная исчезает, поэтому искать особенную первообразную не требуется.
Разность значений F(b) и F(a) связана с площадью потому, что производная F′(x) = f(x) задаёт, как быстро меняется F. На каждом маленьком участке изменение F примерно равно площади узкой полоски под графиком f(x). Когда полоски складываются по всему отрезку, получается общее изменение F, то есть F(b) − F(a).
В формуле используется именно разность F(b) − F(a), поскольку движение по отрезку идёт от начальной точки a к конечной точке b. F(b) содержит весь накопленный результат к концу, а F(a) — часть, накопленную до начала рассматриваемого участка. Вычитание убирает начальную часть и оставляет только результат на [a; b].
Применение теоремы записывают так: ∫ от a до b f(x) dx = F(b) − F(a), если F′(x) = f(x). Сначала находят F(x), затем вычисляют F(b), F(a) и их разность. Нижний предел подставляют первым по смыслу, но вычитают его значение из значения в верхнем пределе.
Результат не зависит от выбора конкретной первообразной, потому что две такие функции имеют вид F(x) + C и G(x) + D, где C и D — постоянные. При использовании одной выбранной первообразной получаем [F(b) + C] − [F(a) + C]. Скобки раскрываются, и одинаковые постоянные взаимно уничтожаются.
| Элемент | Обозначение | Что означает | Роль в вычислении |
|---|---|---|---|
| Подынтегральная функция | f(x) | Функция, для которой вычисляют интеграл | Её первообразную нужно найти |
| Первообразная | F(x) | Функция, производная которой равна f(x) | Подставляется в формулу |
| Границы интегрирования | a и b | Концы отрезка, на котором считают интеграл | Определяют значения F(a) и F(b) |
| Значение интеграла | F(b) − F(a) | Разность значений первообразной на концах отрезка | Итог вычисления |
Пользуйся таблицей как последовательностью действий. Сначала найди f(x) и её первообразную F(x), затем определи a и b. В конце вычисли F(b) − F(a) и запиши полученное число.
Вычислим интеграл от 0 до 2 функции f(x) = 2x. Сначала найдём первообразную, а затем применим формулу Ньютона — Лейбница.
Ответ: 4.
Найдём интеграл от 1 до 3 функции f(x) = 3x² − 2x + 1. Интегрируем каждое слагаемое отдельно, чтобы получить удобную первообразную.
Ответ: 20.
Найдём площадь под графиком f(x) = x² на [1; 4], а затем сравним её с площадью на [0; 1]. Функция неотрицательна, поэтому площади равны соответствующим интегралам.
Ответ: площади равны 21 и 1/3; границы отрезка существенно влияют на результат.
Некоторые записывают F(a) − F(b) вместо F(b) − F(a), потому что путают верхний и нижний пределы. В результате знак ответа меняется. Проверь себя: подставь сначала правый конец b, затем левый a и вычти второй результат из первого.
Иногда пределы подставляют в исходную функцию f(x), а не в первообразную F(x). Так нельзя: именно F связывает интеграл с теоремой Ньютона — Лейбница. После нахождения первообразной подпиши рядом, какие значения нужно вычислить: F(b) и F(a).
Ошибка возникает и тогда, когда забывают проверить производную найденной функции. Причина обычно в неверной степени или коэффициенте при интегрировании. Продифференцируй F(x) и сравни результат с f(x) до подстановки границ.
Неверно считать, что разные первообразные дадут разные интегралы. Они отличаются постоянной, которая появляется в обоих значениях и сокращается при вычитании. Для проверки можно добавить к F(x) число C и убедиться, что итог останется прежним.
До этой темы нужно знать смысл производной, правила дифференцирования и способы нахождения простейших первообразных. Понятие площади под графиком связывает алгебраические вычисления с геометрией. Теорема пригодится для нахождения площадей, пройденного пути по скорости и других величин, которые постепенно накапливаются.
Чем первообразная отличается от определённого интеграла?
Первообразная — это функция F(x), производная которой равна f(x). Определённый интеграл — число, которое получают на конкретном отрезке [a; b] и которое может описывать площадь или накопленную величину.
Почему в формуле нужно вычитать F(a) из F(b)?
Значение F(b) показывает накопленный результат к правому концу отрезка, а F(a) — то, что накопилось до его начала. Поэтому начальную часть вычитают из конечной: получается прирост на отрезке [a; b].
Как проверить, правильно ли найдена первообразная?
Нужно продифференцировать найденную функцию F(x). Если получится исходная функция f(x), первообразная найдена правильно.
Можно ли выбрать любую первообразную для применения теоремы?
Да, можно выбрать любую первообразную: они отличаются только постоянным слагаемым. При вычислении F(b) − F(a) эта постоянная сокращается.
Что делать, если график функции находится ниже оси абсцисс?
Интеграл в этом случае будет отрицательным, потому что он учитывает площадь со знаком. Если нужна именно геометрическая площадь, берут площадь положительной величины, обычно используя модуль или разбивая отрезок в точках пересечения с осью.
З Занятие 2. Теорема Ньютона — Лейбница
