"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Площадь плоской фигуры показывает, сколько места она занимает на поверхности. Её измеряют, сравнивая фигуру с единичным квадратом, поэтому результат записывают в квадратных единицах: см², м² и других. Для прямоугольника используют произведение смежных сторон: S = ab, а для треугольника — половину произведения основания на высоту: S = ah / 2. Эти правила помогают находить площади простых и составных фигур.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь плоской фигуры — величина, которая показывает, сколько места фигура занимает на плоскости. Если одна фигура покрывает больше места, чем другая, её площадь больше. Площадь нужна, чтобы сравнивать поверхности и вычислять количество материала для покрытия.
Единица площади — это площадь выбранного квадрата, например квадратного сантиметра. Квадрат со стороной 1 см имеет площадь 1 см². Квадратные единицы используют потому, что сравнивают не длину, а заполненную поверхность.
Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон. Если стороны обозначить буквами a и b, формула имеет вид S = ab. Она позволяет быстро узнать, сколько единичных квадратов помещается внутри прямоугольника.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Если основание обозначить a, а соответствующую высоту — h, получаем S = ah / 2. Высота должна быть перпендикулярна основанию, то есть образовывать с ним прямой угол.
Площади можно сравнивать наложением: если одна фигура полностью помещается внутри другой, её площадь не больше площади второй. Но такой способ удобен не всегда, поэтому фигуры разбивают на равные части. Единичный квадрат служит общей мерой: подсчитав квадраты, покрывающие фигуру, получают её площадь.
Площадь измеряют квадратными единицами, потому что единичная часть поверхности имеет форму квадрата. Например, квадрат со сторонами 1 см на 1 см имеет площадь 1 см². Если сторона поверхности увеличивается в два раза и в длину, и в ширину, количество таких квадратов увеличивается в четыре раза, а не только в два.
На сетке прямоугольник можно представить как несколько одинаковых рядов квадратов. В каждом ряду помещается столько квадратов, сколько единиц длины содержит одна сторона, а число рядов равно длине другой стороны. Поэтому общее число квадратов находят умножением: S = ab, причём обе стороны должны быть выражены в одинаковых единицах.
Диагональ прямоугольника делит его на два равных треугольника. Каждый треугольник занимает ровно половину площади исходного прямоугольника, а его стороны можно рассматривать как основание и соответствующую высоту. Поэтому площадь треугольника получают делением произведения основания на высоту на 2.
Составную фигуру удобно разделить на знакомые части: прямоугольники, треугольники или другие простые фигуры. Площади частей складывают, если они образуют всю фигуру без перекрытий. Если из целой фигуры вырезана часть, её площадь вычитают, а единицы измерения и примерный размер ответа помогают проверить результат.
| Фигура | Обозначения | Формула площади | Единицы измерения |
|---|---|---|---|
| Прямоугольник | a и b — смежные стороны | S = ab | см², м² и другие |
| Треугольник | a — основание, h — высота к нему | S = ah / 2 | см², м² и другие |
Сначала определите, какая фигура дана и какие величины известны. Затем выберите строку таблицы и подставьте длины в подходящую формулу. Проверьте, что все длины выражены в одинаковых единицах, а ответ записан в квадратных единицах.
Задача 1. Найдём площадь прямоугольника со сторонами 8 см и 5 см. Обе длины уже выражены в сантиметрах, поэтому результат получится в квадратных сантиметрах.
Ответ: площадь прямоугольника равна 40 см². Число 40 означает, что его поверхность можно покрыть 40 квадратами со стороной 1 см.
Задача 2. Основание треугольника равно 12 см, а высота, проведённая к нему, — 7 см. Дана именно соответствующая высота, поэтому можно сразу применить формулу площади треугольника.
Ответ: площадь треугольника равна 42 см². Деление на 2 обязательно, потому что треугольник составляет половину подходящего прямоугольника.
Задача 3. Прямоугольник имеет размеры 10 см на 8 см, из него вырезали прямоугольник 4 см на 3 см. Сначала найдём площадь всей фигуры, затем площадь выреза и вычтем её.
Ответ: площадь оставшейся фигуры равна 68 см². Такой результат меньше 80 см², поэтому он согласуется с условием: часть поверхности была удалена.
Запись в сантиметрах вместо квадратных сантиметров. Так происходит из-за смешения длины и площади. Проверьте размерность: при умножении сантиметров на сантиметры получается см².
Забывают делить на 2 в формуле треугольника. Ученик переносит формулу прямоугольника, хотя треугольник занимает только половину соответствующего прямоугольника. Перед ответом спросите себя, какая фигура вычисляется: для треугольника должна быть половина произведения.
Берут неподходящую высоту. Иногда выбирают отрезок, который не образует прямой угол с данным основанием. Проверьте, что высота перпендикулярна именно тому основанию, которое подставлено в формулу.
Используют разные единицы или складывают несогласованные площади. Например, сантиметры нельзя напрямую умножать на метры, а см² нельзя складывать с м². Сначала переведите все величины в одну систему и только потом выполняйте вычисления.
Для вычисления площади нужны навыки измерения длин, перевода единиц и умножения чисел. Формулы прямоугольника и треугольника станут основой при изучении площадей параллелограмма, трапеции и других многоугольников. Площади применяют в быту: при ремонте, расчёте количества краски, плитки, обоев и других материалов.
Почему площадь измеряют квадратными, а не обычными единицами?
Площадь показывает, сколько одинаковых квадратов помещается внутри фигуры. Поэтому при измерении используют квадратный сантиметр, квадратный метр и другие квадратные единицы, а не единицы длины.
Как выбрать единицу площади для конкретной задачи?
Обычно выбирают единицу, удобную для размеров фигуры: см² — для небольших предметов, м² — для комнат и участков. Все длины перед вычислением нужно выразить в единицах, соответствующих выбранной площади.
Какую высоту нужно брать в формуле площади треугольника?
Нужна высота, проведённая к выбранному основанию. Она должна быть перпендикулярна этому основанию, то есть образовывать с ним прямой угол.
Почему в формуле площади треугольника появляется деление на 2?
Диагональ прямоугольника делит его на два равных треугольника. Поэтому площадь одного такого треугольника составляет половину площади прямоугольника с теми же основанием и высотой.
Как найти площадь фигуры, составленной из нескольких прямоугольников?
Разделите фигуру на прямоугольники, найдите площадь каждого и сложите результаты. Если из большой фигуры вырезана часть, можно найти площадь целой фигуры и вычесть площадь выреза.
З Занятие 1. Площади плоских фигур
