Беседа. Формула Тейлора

Определения и обозначения

Формула Тейлора — способ представить функцию около точки a через значения её производных и степени разности x − a. В общем виде f(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! + Rₙ(x). Она нужна, чтобы заменять сложные вычисления более простыми.

Многочлен Тейлора — конечная сумма первых членов формулы Тейлора без остатка или вместе с выбранными поправками. Например, для синуса это может быть x − x³/6. Такой многочлен используют для приближённого вычисления значения функции.

Точка разложения — число a, около которого строится приближение. Производные в формуле находят именно при x = a, а не в искомой точке x. Удачный выбор a делает вычисления проще и повышает точность рядом с этой точкой.

Остаточный член — часть формулы, обозначаемая Rₙ(x), которая показывает ошибку замены функции многочленом. Если остаток мал, приближённое значение близко к настоящему. Без его учёта нельзя уверенно судить о точности результата.

Как это устроено

Значение функции около точки можно уточнять постепенно, потому что производная описывает её изменение. Если известно f(a), то первый шаг даёт постоянное приближение: f(x) ≈ f(a). Добавив f′(a)(x − a), мы учитываем наклон графика и получаем касательную, которая обычно лучше передаёт поведение функции рядом с a.

Касательная не учитывает изгиб графика, поэтому появляется вторая производная. Поправка f″(a)(x − a)²/2! описывает изменение наклона и уточняет результат. Третья и последующие производные добавляют сведения о ещё более тонких изменениях, поэтому приближение постепенно становится похожим на саму функцию.

Полная запись имеет вид f(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! + Rₙ(x). Число n показывает, до какой производной дошли, знак ! означает факториал, а Rₙ(x) содержит всё, что не вошло в многочлен. Значения производных берутся в a, степени содержат именно x − a.

При увеличении степени добавляются новые поправки, и около точки a они обычно уменьшают ошибку. Это происходит потому, что при малом |x − a| высокие степени быстро становятся маленькими. Однако далеко от точки разложения следующий член может оказаться не мал, поэтому точность нельзя считать одинаковой на всей числовой прямой.

Выбор точки разложения влияет и на вычисления, и на область хорошего приближения. Если нужно найти значение около нуля, удобно взять a = 0: многие производные и степени упрощаются. Для значения около другого числа иногда выгоднее разлагать именно там, потому что разность x − a будет небольшой.

Основные примеры разложения функций по формуле Тейлора

В таблице сначала находят точку разложения, затем смотрят на первые слагаемые многочлена. Для оценки точности сравнивают величину отброшенного следующего члена с требуемой погрешностью. Нельзя переносить приближение далеко от точки a без дополнительной проверки.

Разбор задач

1. Разложение многочлена

Условие: записать многочлен Тейлора для f(x) = x³ в точке a = 0 и определить, когда равенство будет точным.

1. Находим производные: f′(x) = 3x², f″(x) = 6x, f‴(x) = 6, а четвёртая производная равна нулю.
2. Подставляем значения при a = 0: f(0) = 0, f′(0) = 0, f″(0) = 0, f‴(0) = 6. Поэтому формула даёт 0 + 0 + 0 + 6x³/3! = x³.
3. После третьей производной новые ненулевые поправки не появляются, поэтому равенство точное уже при включении члена третьей степени.

Ответ: f(x) = x³; достаточно четырёх членов общей формулы, из которых ненулевым является член x³.

2. Приближённое значение синуса

Условие: найти sin 0,1 по первым двум ненулевым членам.

1. Берём sin x ≈ x − x³/6 и подставляем x = 0,1.
2. Получаем 0,1 − 0,001/6 = 0,0998333….
3. Следующий отброшенный член равен x⁵/120 = 0,00001/120 ≈ 0,000000083, поэтому ошибка очень мала.

Ответ: sin 0,1 ≈ 0,0998333, погрешность по порядку величины не превышает 0,0000001.

3. Сравнение двух приближений

Условие: сравнить x и x − x³/6 при x = π/4.

1. Приближение первой степени даёт π/4 ≈ 0,7854. Настоящее значение sin(π/4) ≈ 0,7071, ошибка около 0,0783.
2. Во втором многочлене получаем 0,7854 − 0,7854³/6 ≈ 0,7047. Его ошибка около 0,0024.
3. Добавленный член учитывает изгиб графика, поэтому второе приближение заметно точнее, хотя точное равенство всё ещё не получено.

Ответ: x − x³/6 лучше приближает sin x при x = π/4.

Типичные ошибки

Пропускают факториал n! В знаменателе стоит не просто n, а произведение 1 · 2 · … · n. Проверьте формулу на втором члене: перед квадратом должно быть f″(a)/2.

Берут производные в точке x. Так смешивают переменную и точку построения приближения. Сначала вычислите производную как функцию, а затем отдельно подставьте a.

Путают знаки синуса и косинуса. У синуса знаки идут плюс, минус, плюс, а у косинуса — плюс, минус, плюс, начиная с единицы. Проверьте первые четыре члена и посмотрите, чередуются ли знаки.

Считают точность одинаковой везде. Многочлен лучше работает рядом с точкой разложения, а вдали остаток может стать большим. Оцените следующий отброшенный член и сравните его с нужной точностью.

Связь с другими темами

До изучения формулы нужны производная и производные высших порядков, степени, факториал и смысл приближённого значения. Тема связывает свойства функций с касательной и локальным описанием графика. Позже формула применяется в численных вычислениях, оценке погрешности и изучении рядов.

Что запомнить

• Формула Тейлора приближает функцию около точки разложения.
• Первый член задаёт значение функции в точке разложения.
• Второй член учитывает наклон графика.
• Следующие члены уточняют приближение с помощью производных высших порядков.
• Чем больше подходящих членов взято, тем точнее обычно приближение вблизи точки разложения.
• Остаточный член характеризует погрешность приближения.
• Для многочлена Тейлора достаточно конечного числа ненулевых членов.