"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Первообразная функции F — это такая функция, производная которой равна заданной функции f: F′(x) = f(x). Она нужна, чтобы по известной производной восстановить исходную функцию. У одной функции обычно бесконечно много первообразных: они отличаются постоянным слагаемым C. Первообразные находят по правилам, а правильность результата проверяют дифференцированием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Первообразная функции — это функция F, производная которой равна данной функции f на рассматриваемом промежутке. Условие записывают так: F′(x) = f(x). Это определение нужно, чтобы по известной производной восстановить функцию.
Неопределённый интеграл обозначает все первообразные функции f: ∫f(x) dx = F(x) + C. Знак ∫ показывает действие нахождения первообразной. Такая запись удобна, когда требуется получить не один результат, а целое семейство функций.
Постоянная интегрирования C — произвольное число, которое прибавляют к первообразной. Причина в том, что производная постоянной равна нулю, поэтому добавление C не изменяет производную. Буква C может обозначать любое число, если дополнительное условие не задано.
Семейство первообразных — это все функции F(x) + C, полученные из одной первообразной вертикальным сдвигом графика. При разных значениях C графики имеют одинаковую форму и отличаются только высотой. Поэтому одна функция обычно имеет бесконечно много первообразных.
Дифференцирование позволяет по функции получить её производную, а нахождение первообразной выполняет обратную задачу. Если известна скорость изменения величины, первообразная помогает восстановить саму величину. Проверить такой результат можно обратным действием — снова найти производную.
У одной функции много первообразных, потому что постоянное слагаемое исчезает при дифференцировании. Например, производные функций x² и x² + 7 одинаковы. Поэтому две первообразные одной функции отличаются только постоянным числом, а не выражением с переменной.
Правило для степеней получают обращением правила дифференцирования: производная xⁿ⁺¹ равна (n + 1)xⁿ. Чтобы получить xⁿ, нужно разделить xⁿ⁺¹ на n + 1. Поэтому ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C при n ≠ −1.
Сумму функций можно интегрировать по частям, потому что производная суммы равна сумме производных. Сначала для каждого слагаемого находят свою первообразную, учитывая коэффициенты и знаки. Затем результаты складывают и записывают одну общую постоянную C.
Проверка результата сводится к дифференцированию найденного выражения. При этом показатель степени уменьшается на единицу, а множитель перед степенью сокращается с делителем. Если после вычислений получается исходная функция, найденная первообразная верна.
В таблице приведены простые случаи, от которых удобно отталкиваться при решении задач. В столбце F(x) записана только одна первообразная, поэтому к ней при необходимости добавляют C. Чтобы проверить строку, достаточно продифференцировать выражение из второго столбца.
| Функция f(x) | Одна первообразная F(x) | Проверка: F′(x) |
|---|---|---|
| 1 | x | 1 |
| x | x²/2 | x |
| x² | x³/3 | x² |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) | xⁿ |
Например, производная x³/3 равна 3x²/3 = x², поэтому эта функция является первообразной для x². Если требуется найти все первообразные, к выражению из таблицы добавляют + C.
Проверьте, является ли x³/3 первообразной функции x². Нужно сравнить производную предложенного выражения с заданной функцией. Если результаты совпадут, проверка пройдена.
Ответ: да, x³/3 является первообразной функции x². Все первообразные имеют вид x³/3 + C.
Найдите все первообразные функции 4x³ − 2x. Слагаемые удобнее рассматривать отдельно, потому что первообразная суммы равна сумме первообразных. После интегрирования обязательно нужно добавить постоянную C.
Ответ: F(x) = x⁴ − x² + C, где C — любое число. Каждое значение C задаёт свою первообразную.
Найдите первообразную функции 6x², график которой проходит через точку (1; 5). Сначала найдём всё семейство первообразных, а затем используем координаты известной точки. Так определяется единственное значение C.
Ответ: F(x) = 2x³ + 3. Проверка даёт F′(x) = 6x², а F(1) = 5.
Забывают добавить C и записывают только одну первообразную. Так получают верный частный пример, но не всё семейство функций. Проверьте, есть ли + C в ответе, если дополнительное условие не задаёт конкретную первообразную.
При обращении правила степени показатель иногда увеличивают не на единицу или делят на старый показатель. Ошибка появляется из-за механического применения формулы. Проверьте результат производной: показатель должен вернуться к исходному, а коэффициенты сократиться.
Ошибаются со знаком, например при нахождении первообразной для −sin x. Знак нужно сохранять и учитывать при обратной проверке, поскольку производная cos x равна −sin x. Всегда дифференцируйте ответ целиком.
Формулу для xⁿ применяют к 1/x, хотя здесь n = −1. При подстановке получается деление на ноль, поэтому условие n ≠ −1 нарушается. Для 1/x используют отдельный результат ln|x| + C.
До изучения первообразной нужны понятия функции, степени с целым показателем и правила нахождения производной. Именно производная позволяет определить, подходит ли найденная функция. Без этих знаний невозможно выполнить проверку.
Первообразная напрямую связана с дифференцированием, потому что эти действия в некотором смысле обратны друг другу. Найденный результат проверяют производной. Это помогает обнаружить ошибки в показателе, коэффициенте или знаке.
Дальше первообразные пригодятся при изучении определённого интеграла. С их помощью вычисляют площади фигур и другие величины, связанные с накоплением изменений. Поэтому уверенное владение правилами первообразных важно для следующих тем.
Что значит, что F — первообразная функции f?
Это значит, что производная функции F равна функции f на рассматриваемом промежутке: F′(x) = f(x). Например, для f(x) = x² первообразной будет F(x) = x³/3, потому что (x³/3)′ = x².
Почему к первообразной нужно прибавлять C?
Потому что производная любого постоянного числа равна нулю. Поэтому функции F(x), F(x) + 2 и F(x) − 10 имеют одну и ту же производную, а C обозначает любое постоянное число.
Как найти первообразную степенной функции?
Показатель степени увеличивают на единицу, а затем делят на новый показатель: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, если n ≠ −1. Например, ∫x³ dx = x⁴/4 + C.
Как проверить, правильно ли найдена первообразная?
Нужно найти производную полученного выражения. Если она совпала с исходной функцией, первообразная найдена правильно.
Можно ли найти первообразную функции 1/x по правилу для степеней?
Нет, потому что 1/x = x⁻¹, а в правиле требуется n ≠ −1. Для этой функции используется другая первообразная: ln|x| + C.
З Занятие 8. Первообразная
