З Занятие 5. Производные элементарных функций

Определения и обозначения

Производная функции — предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Приращением называют изменение величины: если x изменился, то и значение функции могло измениться. Производная позволяет описать, насколько быстро происходит это изменение.

Производная в точке — число, показывающее скорость изменения функции и наклон касательной к её графику в данной точке. Касательная — прямая, которая касается графика вблизи выбранной точки и показывает его направление. По знаку производной можно понять, растёт функция или убывает около этой точки.

Дифференцирование — нахождение производной заданной функции. Обозначения f′(x) и y′ читают «эф штрих от икс» и «игрек штрих». Дифференцирование нужно, чтобы перейти от формулы функции к формуле, описывающей скорость её изменения.

Элементарные функции — основные функции, для которых известны стандартные формулы производных: степенная, показательная, логарифмическая и тригонометрические. Например, к ним относятся xⁿ, eˣ, ln x, sin x и cos x. Знание их производных помогает находить производные более сложных выражений по правилам.

Как это устроено

Пусть аргумент x меняется на небольшое число, а значение функции — на соответствующее число. Отношение приращения функции к приращению аргумента показывает среднее изменение на этом промежутке. Но оно зависит от длины промежутка, поэтому не всегда точно описывает поведение функции в одной точке. В определении производной приращение аргумента приближают к нулю: предел такого отношения даёт мгновенную скорость изменения, если она существует.

Производная связана с наклоном касательной, потому что секущая — прямая через две точки графика — показывает изменение функции на промежутке между ними. Когда вторая точка приближается к первой, секущая поворачивается и стремится занять положение касательной. Её наклон измеряется угловым коэффициентом, который и задаёт производная. Например, положительная производная означает, что функция около точки растёт, а отрицательная — что убывает.

Сумму можно менять по частям: изменение f(x) + g(x) складывается из изменений каждой функции. Поэтому производная суммы равна f′(x) + g′(x), а производная разности — f′(x) − g′(x). Для произведения так сделать нельзя: меняются оба множителя. Изменение произведения учитывает сначала изменение первого множителя при прежнем втором, а затем изменение второго при первом; отсюда правило (fg)′ = f′g + fg′. Для частного аналогично учитывают изменения числителя и знаменателя, что приводит к формуле (f/g)′ = (f′g − fg′)/g², если g ≠ 0.

Постоянная не меняется при изменении x, поэтому её приращение равно нулю и производная тоже равна нулю. Для степенной функции изменение xⁿ зависит от того, сколько раз перемножен x: при дифференцировании показатель степени становится множителем, а сама степень уменьшается на единицу. Так получается формула (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Например, (x⁴)′ = 4x³; правило применяют при допустимых значениях x и n.

У каждой элементарной функции есть своя формула производной: (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (tg x)′ = 1/cos² x и (ctg x)′ = −1/sin² x. Для показательной и логарифмической функций формулы такие: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x. Формулы тангенса и котангенса используют только там, где исходная функция определена: для tg x нужно cos x ≠ 0, для ctg x — sin x ≠ 0. Логарифм ln x существует только при x > 0, и производную также находят лишь в этой области.

На графике параболы y = x² производная равна y′ = 2x. Это значит, что при x = 0 наклон касательной равен нулю, при x > 0 наклон положительный, а при x < 0 — отрицательный. Прямая y′ = 2x показывает значение наклона для каждой точки параболы.

Производные элементарных функций и правила дифференцирования

Сначала определите, какой вид имеет выражение: отдельная функция, сумма, произведение или частное. Затем примените подходящую строку таблицы и проверьте, определена ли исходная функция при нужном x. Обозначения f и g здесь означают любые функции, а штрих — их производные.

Разбор задач

Задача 1. Найти производную функции y = 7x⁴ − 3x² + 5.

1. Видим сумму трёх слагаемых, поэтому найдём производную каждого отдельно. Коэффициенты 7 и −3 остаются множителями при дифференцировании степеней. Постоянное число 5 даст ноль.

2. По формуле (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ получаем (7x⁴)′ = 7·4x³ = 28x³ и (−3x²)′ = −3·2x = −6x. Для последнего слагаемого (5)′ = 0.

3. Складываем полученные результаты: y′ = 28x³ − 6x + 0. Нулевое слагаемое можно не записывать. Ответ: y′ = 28x³ − 6x.

Задача 2. Найти производную функции y = x²·sin x.

1. Здесь перемножены две функции: f(x) = x² и g(x) = sin x. Значит, нельзя отдельно найти производные и перемножить их. Применим правило произведения: (fg)′ = f′g + fg′.

2. Находим производные множителей: f′(x) = 2x, а g′(x) = cos x. Подставляем их в правило, оставляя второй множитель каждого слагаемого без изменения. Получаем y′ = 2x·sin x + x²·cos x.

3. Проверяем, что в каждом из двух слагаемых один множитель заменён своей производной, а второй сохранён. Это соответствует правилу произведения. Ответ: y′ = 2x sin x + x² cos x.

Задача 3. Найти производную функции y = (ln x)/x и определить её значение при x = 1.

1. Сначала учитываем область определения: ln x существует при x > 0, а знаменатель x не должен равняться нулю. Итак, исходная функция определена при x > 0. Обозначим f(x) = ln x, g(x) = x и применим правило частного.

2. Производные числителя и знаменателя равны f′(x) = 1/x и g′(x) = 1. По формуле получаем y′ = ((1/x)·x − (ln x)·1)/x². В числителе (1/x)·x = 1, поэтому y′ = (1 − ln x)/x².

3. Подставляем x = 1: ln 1 = 0, поэтому y′(1) = (1 − 0)/1² = 1. Значение допустимо, поскольку 1 > 0. Ответ: y′ = (1 − ln x)/x² при x > 0; y′(1) = 1.

Типичные ошибки

Производную произведения находят как произведение производных. Так ошибаются, механически перенося правило суммы на другое действие. Для произведения нужно записать два слагаемых: f′g + fg′. Проверьте, что в каждом из них один множитель продифференцирован, а другой оставлен прежним.

Забывают коэффициент n в производной xⁿ. Если записать только xⁿ⁻¹, получится неверный результат: показатель должен перейти в множитель перед степенью. Например, производная x⁴ — это 4x³, а не x³. Для проверки отдельно посмотрите, появился ли перед новой степенью прежний показатель.

Неверно ставят знаки в формулах тригонометрических производных. Часто путают производные синуса и косинуса или забывают минус у котангенса. Запомните: (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (ctg x)′ = −1/sin² x. Сверьте знак с формулой до подстановки в выражение.

Применяют формулу вне области определения. Например, ln x не определён при x ≤ 0, а ctg x — там, где sin x = 0. Ошибку допускают, когда смотрят только на формулу производной и забывают о самой функции. Перед вычислениями проверьте, при каких x существует исходное выражение.

Связь с другими темами

Чтобы работать с производными, нужно уметь находить значения функций и читать их графики. Также понадобятся приращение аргумента и функции, а при преобразовании выражений — правила действий с алгебраическими и тригонометрическими выражениями.

Производная помогает исследовать, где функция растёт или убывает, находить её экстремумы — точки максимума и минимума — и точнее строить графики. Эти выводы получают, рассматривая знак производной и её значения.

Дальше производные используют в задачах на скорость, выбор наилучшего варианта и нахождение касательной. Они также помогают исследовать более сложные функции, составленные из нескольких простых выражений.

Что запомнить

• Производная показывает скорость изменения функции и наклон касательной.
• Производная постоянной равна нулю.
• Производная xⁿ равна n·xⁿ⁻¹.
• Производная суммы равна сумме производных.
• Для произведения и частного применяются специальные правила.
• Производная sin x равна cos x, а производная cos x равна −sin x.
• При вычислении производной нужно учитывать область определения функции.