З Занятие 6. Применение производной к исследованию функций

Определения и обозначения

Производная функции — число, показывающее скорость изменения функции в данной точке. Её обозначают f'(x) или y', где штрих означает производную. Производная нужна, чтобы понять, как ведёт себя график: поднимается он, опускается или меняет направление.

Критическая точка — внутренняя точка области определения, в которой производная равна нулю или не существует. Слово «внутренняя» означает, что точка не является концом рассматриваемого промежутка. Такие точки проверяют, потому что рядом с ними функция может изменить характер движения.

Монотонность функции — её возрастание или убывание на некотором промежутке. Возрастающая функция при движении слева направо принимает всё большие значения, а убывающая — всё меньшие. Знание промежутков монотонности помогает представить форму графика без построения каждой его точки.

Экстремум функции — точка локального максимума или минимума, где функция меняет характер возрастания. Максимум возникает на вершине «подъёма», а минимум — в нижней точке «впадины». Чтобы подтвердить экстремум, проверяют изменение знака производной по разные стороны от точки.

Как это устроено

Знак производной показывает направление изменения функции, потому что производная описывает наклон графика. При положительной производной на малом шаге вправо значение функции увеличивается, поэтому функция возрастает. При отрицательной производной значение уменьшается, и функция убывает.

Сначала рассматривают область определения: функция может существовать не при всех значениях x. Затем находят производную и решают уравнение f'(x) = 0, а также отмечают точки области определения, где производная не существует. Получившиеся критические точки делят область на промежутки, внутри которых знак производной обычно не меняется.

Чтобы определить поведение функции, выбирают по одному числу из каждого промежутка и подставляют его в выражение для производной. Если знак слева положительный, а справа отрицательный, функция сначала возрастает, а затем убывает, поэтому в точке находится максимум. Если знаки меняются с минуса на плюс, получается минимум.

Полное исследование начинают с области определения, затем вычисляют производную и находят критические точки. После этого составляют таблицу знаков, записывают промежутки возрастания и убывания и делают вывод об экстремумах. Для отрезка отдельно проверяют его концы, поскольку наибольшее или наименьшее значение может находиться не внутри, а на границе.

Исследование функции с помощью производной

Пользуйтесь таблицей как планом решения: переходите к следующему этапу только после выполнения предыдущего. В конце полезно проверить, что рассмотрены все критические точки и обе границы отрезка, если он дан.

Разбор задач

Задача 1. Промежутки возрастания и убывания

Исследуем функцию y = x² − 4x + 3. Она определена при всех действительных x, поэтому дополнительных ограничений нет. Нужно понять, как знак производной меняется около найденной критической точки.

1. Находим производную: y' = 2x − 4.
2. Решаем 2x − 4 = 0 и получаем x = 2.
3. При x < 2 производная отрицательна, а при x > 2 положительна.
4. Значит, функция убывает на (−∞; 2), а возрастает на (2; +∞).

Ответ: функция убывает на (−∞; 2) и возрастает на (2; +∞); в точке x = 2 находится минимум.

Задача 2. Точки экстремума

Рассмотрим y = x³ − 3x. Требуется найти критические точки и определить их вид. Для этого исследуем знак производной на трёх промежутках.

1. Вычисляем производную: y' = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1).
2. Из уравнения y' = 0 получаем x = −1 и x = 1.
3. На (−∞; −1) производная положительна, на (−1; 1) отрицательна, на (1; +∞) положительна.
4. В x = −1 знак меняется с плюса на минус, поэтому это максимум; в x = 1 знак меняется с минуса на плюс, поэтому это минимум.

Ответ: максимум находится при x = −1, его значение y = 2; минимум находится при x = 1, его значение y = −2.

Задача 3. Значения на отрезке

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции y = x³ − 6x² + 9x + 1 на [0; 4]. На отрезке нужно проверить не только критические точки, но и его концы.

1. Производная равна y' = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3).
2. Критические точки x = 1 и x = 3 попадают внутрь отрезка.
3. Вычисляем значения: f(0) = 1, f(1) = 5, f(3) = 1, f(4) = 5.
4. Сравниваем числа 1, 5, 1 и 5.

Ответ: наибольшее значение равно 5 при x = 1 и x = 4, наименьшее равно 1 при x = 0 и x = 3.

Типичные ошибки

Ученик считает критической любую точку, где функция не определена. Такую точку нельзя исследовать как точку графика, потому что у неё нет значения функции. Проверяйте сначала, принадлежит ли точка области определения.

Иногда функцию называют возрастающей при f'(x) ≥ 0 или убывающей при f'(x) ≤ 0, не указав промежуток и условия признака. Знак нужно изучать на каждом промежутке отдельно, разделяя его критическими точками. В ответе всегда записывайте конкретный промежуток.

Нулевая производная сама по себе не доказывает наличие экстремума. Например, знак может оставаться плюсом по обе стороны от точки, и функция продолжит возрастать. Проверьте, произошла ли смена знака производной.

При поиске наибольшего значения иногда проверяют только критические точки. Но функция может получить нужное значение на конце отрезка, даже если там производная не равна нулю. Поэтому подставляйте в функцию оба конца отрезка и все внутренние критические точки.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь находить область определения функции, вычислять производные по правилам дифференцирования, а также решать уравнения и неравенства. Эти навыки нужны, чтобы правильно найти критические точки и знаки производной.

Исследование с помощью производной помогает строить графики функций: по промежуткам монотонности и экстремумам легче понять их форму. Те же действия используются в задачах на наибольшее и наименьшее значение.

В физике производная описывает скорость изменения величины, в экономике помогает искать выгодный или оптимальный результат. Поэтому метод применяется не только в математических упражнениях.

Что запомнить

• Производная показывает характер изменения функции.
• Если f'(x) > 0, функция возрастает на соответствующем промежутке.
• Если f'(x) < 0, функция убывает на соответствующем промежутке.
• Критические точки находят среди корней производной и точек, где производная не существует.
• Экстремум подтверждается сменой знака производной.
• На отрезке наибольшее и наименьшее значения сравнивают в критических точках и на концах отрезка.