Складываем и вычитаем разрядные слагаемые

Определения и обозначения

Разрядная единица — единица счёта, соответствующая определённому разряду: единица, десяток, сотня, тысяча. Десять единиц образуют один десяток, десять десятков — одну сотню, десять сотен — одну тысячу. Эти соотношения помогают понять, как устроена запись многозначных чисел.

Разрядное слагаемое — слагаемое, которое показывает количество единиц одного разряда в числе. Например, 300 в разложении числа 348 обозначает три сотни. По таким слагаемым удобно видеть, из каких частей составлено число.

Разрядный состав числа — количество единиц каждого разряда в числе. В числе 348 содержатся 3 сотни, 4 десятка и 8 единиц. Зная этот состав, можно определить разрядные слагаемые: 300, 40 и 8.

Разложение числа на разрядные слагаемые — представление числа в виде суммы частей, каждая из которых относится к одному разряду. Например, 348 = 300 + 40 + 8. Такая запись позволяет выполнять вычисления отдельно с сотнями, десятками и единицами.

Как это устроено

Одна и та же цифра может обозначать разное количество в зависимости от её места. В числе 50 цифра 5 стоит в разряде десятков, поэтому обозначает пять десятков, то есть 50, а не пять единиц. Если не учитывать место цифры, легко заменить разрядное значение обычной цифрой и получить неверный результат.

Чтобы разложить число, определяют значение каждой цифры с учётом разряда. В числе 407 цифра 4 обозначает 400, цифра 0 — отсутствие десятков, а 7 — семь единиц. Нулевое слагаемое обычно не записывают, поэтому получаем 407 = 400 + 7. Ноль при этом сохраняют в записи исходного числа: он показывает, что разряд десятков пропущен.

Разрядные слагаемые складывают по количеству единиц соответствующего разряда. Например, 300 + 200 — это три сотни и ещё две сотни, всего пять сотен; 40 + 30 — четыре десятка и ещё три десятка, всего семь десятков. Поэтому результат можно записать как 500 + 70. Складывать удобно именно так, потому что десятки не смешиваются с сотнями.

Вычитание устроено сходным образом: если вычитаемое относится к разряду, который есть в уменьшаемом, можно уменьшить количество единиц именно этого разряда. Из 580 вычитают 200 — две сотни из пяти, получая три сотни; десятки и единицы не затрагиваются. Так получается 380. Такой способ действует без изменения соседних разрядов, если не требуется переход через разряд.

Если слагаемые относятся к разным разрядам, каждое действует на свою часть числа. Например, при прибавлении десятков меняется количество десятков, а единицы сохраняются; при вычитании сотен уменьшается количество сотен, а десятки и единицы остаются прежними. Это верно, пока действие не требует перехода через разряд. Поэтому сначала определяют разряд слагаемого, затем проверяют, не изменится ли запись соседних разрядов из-за такого перехода.

Сложение и вычитание разрядных слагаемых

В таблице собраны типичные действия с разрядными слагаемыми. Сначала определи, с каким разрядом работаешь, затем проследи, какие цифры числа меняются. Если слагаемые относятся к разным разрядам, выполняй действия с каждым из них отдельно.

Разбор задач

Задача. Вычисли 26 + 30.

1. Число 26 состоит из двух десятков и шести единиц: 26 = 20 + 6.
2. Число 30 — это три десятка. Прибавим их к двум десяткам: 20 + 30 = 50.
3. Единиц по-прежнему шесть, потому что к ним ничего не прибавляли. Получаем 50 + 6 = 56.

Ответ: 56. Мы прибавили три десятка, а не три единицы.

Задача. Вычисли 470 − 60.

1. Представим числа по разрядам: 470 = 400 + 70, а 60 — это 6 десятков.
2. Вычтем шесть десятков из семи: 70 − 60 = 10.
3. Сотни не меняются, поэтому складываем оставшиеся части: 400 + 10 = 410.

Ответ: 410. Мы изменили десятки, сохранив четыре сотни.

Задача. Вычисли 638 + 200 − 40 + 5.

1. Выполняем действия по порядку. В числе 638 прибавляем 200, то есть две сотни: получаем 838.
2. Вычитаем 40 — четыре десятка. В числе 838 десятков три, поэтому после вычитания остаются восемь десятков: 798.
3. Прибавляем 5 единиц: число единиц увеличивается с 8 до 13. Это требует перехода через десяток: получаем 803.

Ответ: 803. При каждом действии мы учитывали разряд слагаемого и проверяли, не требуется ли изменить соседний разряд.

Типичные ошибки

Иногда к 26 прибавляют 3 вместо 30, потому что замечают цифру 3, но не учитывают, что она стоит в разряде десятков. Тогда получается другое действие: прибавление трёх единиц. Проверь себя: назови разряд слагаемого и замени его словами — 30 означает три десятка.

Ещё одна ошибка — складывать или вычитать цифры, не обращая внимания на места в записи. Например, цифра 4 в числе 348 означает четыре десятка, а не четыре единицы. Чтобы проверить вычисление, сначала разложи число на сотни, десятки и единицы, а затем выполняй действие с нужной частью.

Ноль не означает, что все разряды после него отсутствуют. В числе 407 ноль показывает, что десятков нет, а единицы есть: семёрка сохраняет разряд единиц. Проверка проста: прочитай число и назови его состав — четыре сотни, ноль десятков, семь единиц.

При действии с разрядным слагаемым иногда без причины изменяют соседние разряды. Например, при 580 − 200 уменьшаются сотни, а десятки и единицы остаются прежними. Сверь результат с разрядным составом; соседние разряды меняются только тогда, когда действие требует перехода через разряд.

Связь с другими темами

Для работы с разрядными слагаемыми нужно знать названия разрядов и понимать, что значение цифры зависит от её места в числе. Полезно также уметь представлять число как несколько сотен, десятков и единиц. Эти знания связывают запись числа с его составом.

Разложение на разрядные слагаемые помогает выполнять устные вычисления и складывать или вычитать многозначные числа. Оно также позволяет проверить письменное вычисление: можно отдельно оценить, правильно ли изменились сотни, десятки и единицы.

Что запомнить

• Значение цифры определяется её разрядом.
• Число можно представить суммой разрядных слагаемых.
• Нулевые разрядные слагаемые обычно не записывают.
• Складывая разрядные слагаемые, учитывай, к какому разряду они относятся.
• При вычитании разрядного слагаемого меняется соответствующий разряд числа.
• Перед вычислением определи, сколько единиц какого разряда обозначает каждое слагаемое.