Рисуем и измеряем

Определения и обозначения

Точка — геометрический объект, который обозначают заглавной латинской буквой, например A. На чертеже её обычно изображают маленькой точкой и подписывают рядом букву. Точка указывает положение, но не имеет длины, ширины или толщины. Она нужна, чтобы точно отмечать места на рисунке и задавать концы отрезков.

Прямая — линия, у которой нет ни начала, ни конца; она продолжается в обе стороны. На чертеже её показывают прямой линией со стрелками или продолжением за границы рисунка. Прямую можно обозначить строчной латинской буквой или двумя заглавными буквами точек, лежащих на ней. Это помогает отличать её от ограниченного участка линии.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками; эти точки называют его концами. Его рисуют как прямую линию между двумя отмеченными точками, например A и B. Отрезок обозначают по концам: AB или BA. Такое обозначение позволяет понять, какой именно участок прямой имеется в виду.

Длина отрезка — расстояние между его концами, измеренное выбранной единицей длины. Например, длину можно записать как 5 см или 50 мм. Единицу обязательно указывают рядом с числом, иначе невозможно понять, что именно измерено. Длина нужна, чтобы сравнивать отрезки, строить их по условию и находить длины частей фигуры.

Как это устроено

Чтобы изобразить точку, поставь на листе небольшой след карандаша и подпиши его заглавной латинской буквой. Букву размещай рядом, но не поверх точки: иначе обозначение может быть трудно прочитать. Прямую проводят линейкой и показывают, что она продолжается за пределы нарисованного участка, например стрелками на обоих концах. Если прямую обозначают буквами, следи, чтобы точки с этими буквами действительно лежали на ней.

Для построения отрезка сначала выбери место для первого конца и обозначь его, например A. Затем отметь второй конец B на нужном расстоянии и соедини точки тонкой линией по линейке. Так получается именно отрезок: линия заканчивается в A и B, а сами точки остаются его концами. Подписи ставят рядом с концами, чтобы не спутать отрезок AB с прямой, проходящей через те же точки.

При измерении линейкой важно совместить конец отрезка с делением 0, а не просто приложить к нему край линейки. Край может не совпадать с нулевой отметкой, поэтому отсчёт от него даст ошибку. Если деление 0 стёрто, совмести конец с другим хорошо видимым делением и вычти начальное значение из отметки у второго конца. Например, если начало приходится на 1 см, а конец — на 6 см, длина равна 6 − 1 = 5 см.

Единицу измерения выбирают по размеру отрезка и требуемой точности: короткие отрезки удобно измерять в миллиметрах или сантиметрах, большие расстояния — в метрах. Одну и ту же длину можно выразить разными единицами, используя соотношения 1 см = 10 мм, 1 дм = 10 см и 1 м = 10 дм. Чтобы перейти к более мелкой единице, число увеличивается: например, 3 см = 30 мм. Чтобы перейти к более крупной единице, число уменьшается, если значение делится без остатка.

После построения или измерения проверь результат: ещё раз приложи линейку и сравни полученную длину с первой оценкой. Оценка — это примерное представление о размере, которое помогает заметить явную ошибку: например, отрезок длиной 2 см не должен выглядеть вдвое длиннее отрезка в 5 см. Проверяй также, что линейка не сдвинулась и отсчёт начинается от правильной отметки. Повторное измерение особенно полезно, если концы отрезка отмечены толстыми точками.

Основные геометрические объекты и их обозначения

Сначала определи, какой объект изображён, а затем смотри на его обозначение и свойства. Если нужно измерить отрезок, найди его концы и проверь единицу длины. Таблица помогает быстро вспомнить различия и не перепутать прямую с отрезком.

Разбор задач

Начертите отрезок AB длиной 4 см.

Нужно получить отрезок, у которого расстояние между концами составляет ровно 4 см. Для этого используем нулевую отметку линейки и отметку 4 см. Если отложить расстояние от края линейки, а край не совпадает с нулём, длина может получиться неверной.

1. Положим линейку на лист и отметим точку A напротив деления 0.
2. Найдём деление 4 см и поставим напротив него точку B.
3. Соединим A и B по линейке, затем подпишем концы буквами.

Ответ: построен отрезок AB длиной 4 см. Проверим его, совместив A с нулевой отметкой: B должен оказаться напротив 4 см.

Измерьте отрезок CD, изображённый в учебнике, и запишите его длину в сантиметрах и миллиметрах.

Числовую длину отрезка нельзя определить без самого изображения и измерения линейкой. Поэтому сначала считываем длину CD в сантиметрах и миллиметрах, а затем записываем результат в двух единицах. Например, если измерение показало 5 см 3 мм, то в миллиметрах это будет 53 мм.

1. Совместим точку C с делением 0 линейки, не ориентируясь только на её край.
2. Посмотрим, где находится точка D, и запишем результат, включая миллиметровую часть, например 5 см 3 мм.
3. Переведём сантиметры в миллиметры: 5 см = 50 мм, затем прибавим 3 мм. Получим 50 + 3 = 53 мм.

Ответ: длина CD равна показанию линейки; например, при измерении 5 см 3 мм это 53 мм. Для конкретного отрезка подставь фактическое значение, полученное при измерении его изображения.

Отрезок AB имеет длину 8 см. На нём отмечена точка C так, что AC = 3 см. Найдите CB и постройте отрезок.

Точка C находится на отрезке AB, поэтому делит его на две части: AC и CB. Длина целого отрезка равна сумме длин этих частей. Значит, неизвестную часть найдём вычитанием известной части из длины всего отрезка.

1. Запишем связь длин: AB = AC + CB.
2. Подставим значения: 8 = 3 + CB, поэтому CB = 8 − 3 = 5 см.
3. Для построения отметим A на нулевой отметке, C — на 3 см, B — на 8 см, затем проведём отрезок AB.

Ответ: CB = 5 см. Проверка: AC + CB = 3 + 5 = 8 см, то есть получилась заданная длина AB.

Типичные ошибки

Некоторые измеряют от края линейки, считая его нулём. Ошибка возникает потому, что край и деление 0 могут находиться не на одном месте, и тогда к длине добавляется или теряется небольшой участок. Совмести конец отрезка с отметкой 0, а если она стёрта — начни с другого деления и вычти его значение. Проверка повторным измерением покажет, совпадают ли результаты.

Прямую иногда принимают за отрезок, если на рисунке виден только небольшой кусок линии. Но прямая продолжается в обе стороны и не имеет концов, а отрезок ограничен двумя точками. Смотри на стрелки или обозначенные концы, а не только на длину нарисованной линии. Чтобы проверить себя, спроси: можно ли назвать у линии два конца?

Запись длины одним числом, например «7», не сообщает, сантиметры это или миллиметры. Такую запись допускают, когда забывают, что результат измерения зависит от выбранной единицы. Всегда указывай единицу: 7 см или 7 мм. При проверке убедись, что единица в ответе совпадает с требованием задачи.

При переводе сантиметров в миллиметры ошибочно делят число на 10. Причина — путаница между переходом к более мелкой и более крупной единице. В одном сантиметре 10 миллиметров, поэтому сантиметры в миллиметры переводят умножением: 4 см = 40 мм. Проверить ответ можно обратным переводом: 40 мм должны составить 4 см.

Связь с другими темами

Для измерения отрезков нужно знать названия единиц длины и соотношения между ними: например, 1 см = 10 мм. Эти знания затем используют при построении геометрических фигур и вычислении их периметра, то есть суммы длин сторон. Навык аккуратно читать линейку пригодится и за пределами геометрии: по нему определяют расстояния на чертежах, схемах и планах. Чем точнее измерение, тем надёжнее построение и последующие вычисления.

Что запомнить

• Точку обозначают заглавной буквой.
• Прямая продолжается в обе стороны и не имеет концов.
• Отрезок ограничен двумя концами.
• Длину отрезка измеряют линейкой от нулевой отметки.
• 1 см = 10 мм.
• При переводе сантиметров в миллиметры число умножают на 10.
• Длина целого отрезка равна сумме длин его частей.