Сравниваем числа

Определения и обозначения

Равные числа — числа, обозначающие одну и ту же величину; их записывают со знаком =. Например, записи 5 = 5 и ½ = 0,5 сообщают о равенстве значений. Это обозначение помогает показать, что перед нами разные записи одного и того же количества или одинаковые числа.

Число больше другого, если оно расположено правее него на числовой прямой; для этого используют знак >. Например, 7 > 4: раскрытая сторона знака обращена к семи, а остриё — к четырём. Такое обозначение позволяет коротко записать, какое из двух чисел занимает более позднее место в порядке чисел.

Число меньше другого, если оно расположено левее него на числовой прямой; для этого используют знак <. Запись 3 < 6 читают «три меньше шести». Она показывает тот же порядок, что и запись 6 > 3, но числа в ней стоят в обратной последовательности.

Числовое неравенство — запись, в которой числа сравнивают с помощью знаков < или >. Например, 2 < 9 — числовое неравенство, сообщающее, что два меньше девяти. Оно нужна, чтобы выражать отношения между числами и записывать условия задач или результаты сравнения.

Как это устроено

Сравнение чисел связано с их расположением на числовой прямой, потому что на ней числа упорядочены по возрастанию слева направо. Когда мы движемся вправо, значение числа увеличивается; двигаясь влево, попадаем к меньшим числам. Поэтому положение точек сразу подсказывает, какой знак поставить, даже если числа отрицательные или дробные. Это общее правило, которое не зависит от способа записи числа.

Для положительных чисел и нуля действует привычное направление: чем дальше вправо от нуля расположено число, тем оно больше. Например, 12 > 5, потому что точка 12 находится правее точки 5. Сам нуль расположен левее всех положительных чисел, поэтому любое положительное число больше нуля. Такое сравнение можно представить как движение от нуля по числовой прямой.

У отрицательных чисел направление сравнения может показаться непривычным: больше то, которое ближе к нулю. Например, −2 > −7, поскольку −2 находится правее −7. На числовой прямой отрицательные числа расположены слева от нуля, и при движении к нулю их значения увеличиваются. Поэтому сравнивать только модули, то есть расстояния от числа до нуля, нельзя: большему модулю соответствует меньшее отрицательное число.

Десятичные дроби сравнивают по разрядам, потому что цифры в записи означают единицы, десятые, сотые и так далее. Сначала сравнивают целые части: если они различаются, дробь с большей целой частью больше. Если целые части одинаковы, сравнивают десятые, затем сотые и следующие разряды, пока не найдётся различие. Когда цифр после запятой разное количество, справа можно дописать нули: 1,4 = 1,40, так что сравнение станет нагляднее.

Обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями сравнивают по числителям: знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а больший числитель означает больше таких частей. Если знаменатели разные, сначала удобно привести дроби к общему знаменателю, то есть записать их с одинаковым числом частей в целом. Можно также сравнить дроби с одинаковыми числителями: целое, разделённое на меньшее число равных частей, даёт более крупные части. Оба способа помогают сравнивать доли, не ориентируясь только на вид записи.

Способы сравнения чисел

В таблице собраны правила для разных видов чисел. Сначала определите, к какой строке относится ваша пара чисел, затем воспользуйтесь указанным способом и проверьте результат по числовой прямой, если это возможно.

Когда дроби записаны в разных формах, выберите общий способ сравнения: например, переведите их в десятичные дроби. Для дробей с разными знаменателями обычно подходит общий знаменатель.

Разбор задач

Сравните 8 и 13.

Оба числа положительные, поэтому можно сравнить их положение справа от нуля. Числовая прямая возрастает слева направо, и 13 расположено правее 8. Значит, знак неравенства должен показать, что восемь меньше тринадцати.

1. Определяем, что оба числа положительные.
2. Сравниваем их: 13 больше 8.
3. Записываем меньшим числом 8, раскрывая знак к большему числу.

Ответ: 8 < 13.

Сравните −4 и −9.

Оба числа отрицательные, значит, смотрим, какое из них ближе к нулю. На числовой прямой −4 находится правее −9, поэтому оно больше. Нельзя решить, что −9 больше −4, только потому, что 9 больше 4: знак минус меняет порядок сравнения модулей.

1. Отмечаем оба числа слева от нуля на числовой прямой.
2. Находим, что −4 ближе к нулю и расположено правее −9.
3. Ставим знак так, чтобы записать меньшее число первым.

Ответ: −4 > −9.

Сравните 2,35 и 2 3/8.

Числа записаны по-разному: первое — десятичная дробь, второе — смешанное число. Чтобы сравнить их по разрядам, переведём 3/8 в десятичную дробь: 3/8 = 0,375, поэтому 2 3/8 = 2,375. Теперь сравним 2,350 и 2,375: целые части и десятые совпадают, а в сотых разряде 5 меньше 7.

1. Преобразуем дробную часть смешанного числа: 3/8 = 0,375.
2. Записываем числа в одном виде: 2,35 = 2,350 и 2 3/8 = 2,375.
3. Сравниваем разряды слева направо; первое различие — в сотых.

Ответ: 2,35 < 2 3/8.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что −9 больше −4, потому что 9 больше 4. Так происходит, если сравнить модули и забыть, что оба числа отрицательные: на числовой прямой −9 находится левее −4. Проверьте себя, представив их на прямой или сравнив расстояния до нуля. Ближе к нулю расположено большее отрицательное число.

Ошибка: решать, какая десятичная дробь больше, по количеству цифр после запятой. Длинная запись не обязательно означает большее значение, ведь разряды имеют разный вес. Допишите нули справа, если это удобно, и сравнивайте целые части, десятые, сотые и далее по порядку. Например, 0,5 = 0,50, а не меньше 0,48.

Ошибка: сравнивать обыкновенные дроби только по числителям или только по знаменателям. Больший числитель сам по себе не гарантирует большую дробь, если знаменатели различаются; так же нельзя делать вывод только по знаменателям при разных числителях. Сначала приведите дроби к общему знаменателю или выполните другое обоснованное преобразование. Проверка: убедитесь, что сравниваемые доли выражены одинаковыми частями целого.

Ошибка: путать знак числа со знаком сравнения или разворачивать знак не в ту сторону. Например, минус в записи −5 относится к самому числу, а < показывает отношение двух чисел. Перед записью определите, какое число больше, и помните: острие знака направлено к меньшему, раскрытая сторона — к большему. Проверить можно чтением слева направо: «меньше» или «больше».

Связь с другими темами

Для сравнения полезно знать порядок чисел на числовой прямой, смысл отрицательных чисел и разряды десятичной записи. При работе с дробями понадобятся представления о числителе, знаменателе и равных дробях. Модуль числа помогает понять расстояние от числа до нуля, но для отрицательных чисел важно учитывать и их положение относительно нуля.

Сравнение используют, когда числа нужно расположить по порядку, решить неравенство или проверить результат вычисления. Если ответ кажется сомнительным, оценка его положения среди исходных чисел помогает заметить ошибку. Так правила сравнения связывают вычисления с порядком чисел.

Что запомнить

• На числовой прямой правое число всегда больше левого.
• Любое положительное число больше нуля, а нуль больше любого отрицательного числа.
• Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.
• При сравнении десятичных дробей можно дописывать нули справа после запятой.
• Дроби с одинаковыми знаменателями сравнивают по числителям.
• Для сравнения дробей с разными знаменателями их можно привести к общему знаменателю.