"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Развёртка многогранника — плоская заготовка, из которой складыванием можно получить объёмную фигуру. Она помогает представить поверхность тела на листе, построить чертёж и изготовить макет или упаковку. Чтобы модель собралась, формы и размеры всех граней должны соответствовать исходному телу, а их расположение — позволять замкнуть поверхность без наложений. Линии сгиба и клапаны делают сборку точной и удобной.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Развёртка многогранника — плоская фигура, составленная из его граней и позволяющая восстановить объёмную модель складыванием. Представь, что поверхность тела разрезали по некоторым рёбрам и разложили на листе, не отрывая части друг от друга. Развёртка нужна, чтобы спланировать чертёж и сделать модель из бумаги или картона.
Грань — плоская многоугольная часть поверхности многогранника. Например, грани куба — квадраты, а грани треугольной призмы — треугольники и прямоугольники. Понимание формы и числа граней помогает проверить, все ли части тела попали в развёртку.
Ребро — отрезок, по которому соединяются две грани многогранника. В готовой модели это край, общий для соседних граней. Если знать, какие стороны станут общими рёбрами, легче правильно соединить грани и отметить на бумаге места сгиба.
Шаблон — подготовленный контур фигуры с линиями сгиба и клапанами для склеивания. По нему заготовку вырезают и складывают, а клапаны подклеивают с внутренней стороны. В отличие от одной только развёртки, шаблон заранее учитывает, как детали будут держаться вместе.
Поверхность объёмной фигуры можно мысленно разрезать по нескольким рёбрам и разложить на плоскости. Грани при этом остаются соединёнными по тем сторонам, где разреза не было, поэтому получается единая плоская заготовка. Если разрезать неудачно, части могут отделиться или разложенная фигура будет неудобна для складывания.
Форма и размер каждой грани в развёртке должны совпадать с соответствующей гранью тела. Иначе при сгибании соседние стороны не сойдутся: появится щель или одна часть выступит за другую. Например, у куба все грани — одинаковые квадраты, поэтому прямоугольник вместо квадрата не сможет образовать его грань.
Чтобы понять, может ли заготовка стать нужным телом, сначала сравнивают число и формы многоугольников с гранями этого тела. Затем проверяют расположение: плоские соседи должны встретиться при сгибании, а свободные края — замкнуть поверхность. Одного подсчёта недостаточно, потому что одинаковые наборы граней можно соединить по-разному.
На шаблоне линии сгиба показывают, где грани должны повернуться относительно друг друга. Клапаны добавляют там, где нужно склеить свободные края, но сами они не являются гранями многогранника. Если их не предусмотреть, модель может не удержать форму; если сделать слишком большими, они могут мешать складыванию.
До вырезания нужно мысленно загнуть каждую грань по намеченным линиям и проследить, куда она переместится. Проверь, что соседние грани не накладываются друг на друга, а поверхность в итоге замыкается. Так можно заметить неподходящее расположение деталей, не потратив бумагу на неудачную модель.
| Фигура | Форма и число граней | Что проверить в развёртке | Особенности вырезания и сборки |
|---|---|---|---|
| Куб | Шесть равных квадратов. | Все квадраты одинаковы; после сгибания образуются шесть разных сторон куба. | Сгибать по сторонам квадратов; оставить клапан или клапаны для соединения свободных краёв. |
| Прямоугольный параллелепипед | Шесть прямоугольников, попарно равных: по два каждой из трёх размеров. | Длины общих сторон должны совпадать; пары противоположных граней равны. | Точно перенести три размера рёбер; клапаны располагать так, чтобы они не перекрывали линии сгиба. |
| Треугольная призма | Два равных треугольника и три прямоугольника. | Прямоугольники образуют боковую поверхность, а их стороны соответствуют сторонам треугольника. | Оставить место для присоединения треугольников к боковой части и для склеивания её краёв. |
| Пирамида | Многоугольное основание и треугольные боковые грани. | Число боковых треугольников равно числу сторон основания; грани должны сходиться к вершине. | Клапаны разместить у основания и на подходящих боковых краях, не мешая складыванию граней. |
| Общие признаки правильной развёртки | Набор многоугольников, соответствующих всем граням тела. | Проверить формы, размеры, соединения по рёбрам и замыкание поверхности. | Сначала отметить сгибы и клапаны, затем вырезать по внешнему контуру и аккуратно склеить. |
Пользуйся таблицей сначала для подсчёта граней и проверки их форм, а затем — чтобы выбрать подходящие места сгиба и склеивания. Если число граней совпало, всё равно проверь их расположение мысленным складыванием. Клапаны учитывай отдельно: они помогают собрать модель, но не добавляют ей граней.
Задача 1. Дана заготовка из шести равных квадратов, соединённых в плоскую фигуру. Определить, можно ли сложить из неё куб, и отметить линии сгиба. Число квадратов подходит кубу, однако одного этого недостаточно. Нужно проверить, что при подъёме граней ни две из них не займут одно и то же место.
Ответ: куб получится, если мысленная проверка показывает шесть разных граней без наложений; линии сгиба проходят по общим сторонам квадратов.
Задача 2. Построить развёртку прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 2 см, 3 см и 5 см, добавить клапаны и вырезать модель. У него есть три пары равных граней: размеры этих пар — 2 × 3 см, 2 × 5 см и 3 × 5 см. Сначала нужно нарисовать грани, а не клапаны: последние не входят в размеры тела.
Ответ: нужны две грани 2 × 3 см, две 2 × 5 см и две 3 × 5 см; клапаны добавляют снаружи, а размеры граней оставляют без изменений.
Задача 3. Из нескольких заготовок требуется выбрать развёртку треугольной призмы и объяснить, почему остальные не подходят. У призмы две равные треугольные грани и три прямоугольные боковые грани. Значит, нужно учитывать и состав, и то, как многоугольники соединяются.
Ответ: подходит заготовка с двумя равными треугольниками и тремя соответствующими прямоугольниками, которая при складывании образует замкнутую призму без наложений.
Принимают любую группу многоугольников за развёртку. Это делают, потому что считают только детали, не проверяя результат складывания. Мысленно собери тело: если поверхность не замыкается или грани перекрываются, заготовка не подходит.
Путают рёбра и линии сгиба. Ребро принадлежит готовому многограннику, а линия сгиба отмечает место поворота бумажной грани; при неверной разметке части соединяются не там. Проверь, что сгиб проходит по общей стороне двух соседних граней, а не по произвольной линии внутри многоугольника.
Забывают о равенстве соответствующих граней. Ошибка возникает, когда стороны чертят на глаз или переносят размеры неточно. Сверь длины сторон у пар равных граней линейкой и проверь совпадение общих рёбер: несоответствующие размеры дадут щель или выступ.
Вырезают по линии сгиба или не оставляют клапаны. Линию сгиба можно принять за внешний контур, а клапаны — за лишнюю бумагу. Тогда нужная грань уменьшится или модель будет нечем скрепить. Отделяй линии сгиба от линии вырезания и проверь перед работой, что клапаны находятся снаружи граней.
Для построения развёрток пригодятся знания о многоугольниках, прямоугольниках, квадратах и треугольниках, а также умение измерять отрезки. Нужно понимать, что такое грань, ребро и вершина многогранника: эти понятия помогают сопоставить плоскую заготовку с телом. Развёртки подготавливают к изучению объёмных фигур, площади их поверхностей и объёма. Этот навык используют при создании макетов, упаковок, геометрических моделей и чертежей.
Любая ли фигура из соединённых многоугольников является развёрткой?
Нет. Соединённые многоугольники должны быть гранями одного многогранника, а при складывании их края должны замкнуть поверхность без щелей и наложений. Поэтому заготовку нужно мысленно сложить или проверить на черновом шаблоне.
Сколько развёрток может иметь один и тот же куб?
У куба 11 различных развёрток, если не считать варианты, которые получаются поворотом или зеркальным отражением друг друга отдельными. Во всех них шесть равных квадратов соединены так, чтобы после сгибания образовались шесть граней куба.
Как понять по рисунку, какие грани окажутся соседними?
Представь, что одна грань остаётся на столе, а соседние поднимаются по линиям сгиба. Грани, соединённые общим ребром в плоской заготовке, будут соседними в модели, если при складывании они не накладываются. Дальше проверь, какие свободные края должны встретиться, чтобы поверхность замкнулась.
Зачем нужны клапаны, если все грани уже нарисованы?
Клапаны — это узкие дополнительные полоски бумаги, которые загибают и приклеивают к соседней грани. Они удерживают собранную модель и соединяют края, не являющиеся линиями сгиба. Без клапанов грани могут разойтись, даже если сама развёртка построена правильно.
Можно ли построить развёртку фигуры, если известны только её размеры?
Если известны размеры всех граней и понятно, как они соединяются, развёртку построить можно. Одних общих размеров тела иногда недостаточно: нужно знать форму граней и их расположение. После построения проверь, складывается ли заготовка в замкнутую поверхность.
Рисуем и вырезаем
