"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Процентное увеличение и уменьшение помогают быстро находить новую величину, если она изменилась на заданную долю. Такой расчёт нужен, например, чтобы узнать цену со скидкой или после наценки, остаток воды после расхода. Главное — считать процент от той величины, к которой применяют изменение: при нескольких изменениях каждое следующее относится уже к текущему значению. Вместо поиска процентов и сложения или вычитания можно умножить исходное число на коэффициент изменения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Процентное увеличение — изменение величины, при котором к исходному значению прибавляют указанную долю от него. Например, при увеличении на 10% к величине прибавляют одну десятую её самой. Это понятие помогает описывать рост цены, количества или другой величины без указания конкретного числа.
Процентное уменьшение — изменение величины, при котором от исходного значения вычитают указанную долю от него. Так можно описать скидку или расход части запаса. Понимание этого определения помогает отличить уменьшение на 10% от вычитания числа 10: результат зависит от исходной величины.
Коэффициент увеличения — число, на которое умножают исходную величину при увеличении на p%; он равен 1 + p/100. Здесь p — число процентов, а 1 представляет всё исходное значение. Коэффициент нужен, чтобы получить результат одним умножением, не вычисляя отдельно прибавляемую часть.
Коэффициент уменьшения — число, на которое умножают исходную величину при уменьшении на p%; он равен 1 − p/100. Из единицы вычитают долю, которая исчезает, поэтому коэффициент показывает оставшуюся часть величины. Он позволяет быстро находить остаток, например после скидки или расхода.
Чтобы увеличить величину на p%, сначала можно найти p% от исходного значения, а затем прибавить полученную часть. Но p% от числа a равны a · p/100, поэтому весь результат записывается как a + a · p/100. Вынесение a за скобки даёт a · (1 + p/100), то есть умножение на коэффициент увеличения.
При уменьшении на p% долю a · p/100 нужно вычесть из исходной величины. Тогда получаем a − a · p/100, или a · (1 − p/100). В скобках остаётся часть исходного значения, которая не была вычтена: если убрали 15%, остаётся 85%.
Коэффициент изменения объединяет несколько действий в одно умножение. Например, увеличение на 15% означает, что к прежним 100% добавились ещё 15%, поэтому новое значение составляет 115% исходного, или 1,15 от него. При уменьшении на 15% остаётся 85%, поэтому множителем будет 0,85.
При последовательных изменениях каждый новый процент считают от значения, полученного после предыдущего шага. Поэтому сначала умножают на коэффициент первого изменения, а затем — на коэффициент второго: для увеличения на p% и следом на q% это a · (1 + p/100) · (1 + q/100). Произведение коэффициентов можно вычислить и одним действием, но каждый множитель всё равно относится к своему этапу.
Одинаковое увеличение и уменьшение не обязательно взаимно уничтожаются. Например, после увеличения на 20% уменьшение на 20% считают уже от увеличенной величины, а не от первоначальной. При исходном значении a результат равен a · 1,2 · 0,8 = 0,96a, то есть он составляет 96% исходного значения.
| Ситуация | Действие с исходной величиной a | Коэффициент изменения |
|---|---|---|
| Увеличение на p% | a · (1 + p/100) | 1 + p/100 |
| Уменьшение на p% | a · (1 − p/100) | 1 − p/100 |
| Последовательное увеличение на p% и q% | a · (1 + p/100) · (1 + q/100) | (1 + p/100) · (1 + q/100) |
| Последовательное уменьшение на p% и увеличение на q% | a · (1 − p/100) · (1 + q/100) | (1 − p/100) · (1 + q/100) |
Сначала выбери строку, которая описывает условие, и подставь вместо букв значения процентов. Затем умножь исходную величину на указанный коэффициент или на произведение коэффициентов. При нескольких изменениях сохраняй порядок этапов, чтобы не забыть, от какой величины берётся каждый процент.
Цена товара равна 800 рублей, и она должна вырасти на 10%. Нужно найти и величину прибавки, и новую цену. Десять процентов означают одну десятую от исходной цены, поэтому долю для увеличения считаем от 800 рублей.
Прибавка составляет 80 рублей, новая цена — 880 рублей. Коэффициент 1,1 означает, что после роста цена равна 110% первоначальной. Оба способа дают одинаковый результат, потому что умножение на 1,1 уже включает исходную цену и прибавленные 10%.
В баке было 240 литров воды, после расхода 15% нужно узнать, сколько осталось. Здесь важно найти не объём израсходованной воды, а оставшуюся часть. Если из 100% вычесть 15%, для расчёта останется 85% исходного количества.
После расхода в баке осталось 204 литра воды. Проверка показывает, что найденное количество согласуется с расходом 36 литров. Умножение на 0,85 короче, потому что сразу учитывает оставшиеся 85%.
Цена товара сначала выросла на 20%, а затем снизилась на 20%; сначала товар стоил 1500 рублей. Второй процент нужно считать уже от новой цены, а не от 1500 рублей. Поэтому выполним два отдельных умножения на коэффициенты соответствующих изменений.
Новая цена равна 1440 рублям, это на 60 рублей меньше исходной цены. Уменьшение составило 20% от 1800 рублей, то есть 360 рублей, а увеличение добавило только 300 рублей. Разница возникла потому, что проценты двух изменений относятся к разным величинам.
Ошибка: прибавлять к величине само число процентов, например к 800 прибавить 10. Процент — это доля от числа, а не число рублей или других единиц; такой промах часто возникает, когда забывают перевести процент в часть. Проверь себя: в прибавки должны быть те же единицы измерения, а 10% от 800 равны 80, не 10.
Ошибка: при увеличении умножать исходное значение только на p/100. Так находят лишь прибавку, а не всё новое значение, потому что исходная величина в результате теряется. Проверь себя: при увеличении коэффициент должен быть больше 1, например для 15% это 1,15, а не 0,15.
Ошибка: для уменьшения использовать коэффициент 1 + p/100. Так получается рост, потому что к исходной величине фактически добавляют долю. Путаются обычно из-за одинакового числа процентов в условии; проверь себя, вычти долю из 100% и убедись, что коэффициент меньше 1.
Ошибка: при нескольких изменениях считать каждый процент от первоначального значения. Это неверно, потому что после первого шага величина уже изменилась, а следующий процент относится к текущему результату. Проверь себя: запиши изменения по порядку и умножь исходное значение на коэффициент каждого шага.
Для процентных изменений нужно уметь находить процент от числа и переводить проценты в десятичную дробь: например, 15% = 0,15. Это помогает получить коэффициенты 1,15 для увеличения и 0,85 для уменьшения. Без этих действий нельзя правильно вычислить долю, которая прибавляется или остаётся.
Расчёты опираются на умножение и сложение чисел: сначала можно найти долю, а затем прибавить или вычесть её. Навык пригодится при подсчёте скидок, наценок и изменений цен, а также при работе с количеством или другими величинами. Коэффициент позволяет выполнять такие расчёты быстрее и удобнее проверять их.
Как увеличить число на заданное количество процентов?
Переведи процент в десятичную дробь и прибавь её к единице: при увеличении на p% коэффициент равен 1 + p/100. Умножь исходное число на этот коэффициент.
Почему при увеличении на 20% нужно умножать на 1,2?
Исходное число составляет 100% от самого себя, то есть 1 от него. После увеличения к этим 100% прибавляются ещё 20%, поэтому получается 120%, или 1,2 исходного числа.
Как найти новое значение после уменьшения на 15%?
После уменьшения остаётся 100% − 15% = 85% исходного значения. Умножь исходное число на 0,85.
Почему увеличение на 10%, а затем уменьшение на 10% не дают исходное число?
Увеличение считают от исходного числа, а последующее уменьшение — уже от увеличенного. Поэтому вычитаемая доля оказывается больше первоначально прибавленной.
Как учитывать несколько изменений подряд?
Для каждого изменения найди свой коэффициент и умножай на них по очереди. Например, увеличение на 20%, а затем уменьшение на 10% означает умножение на 1,2 и на 0,9.
Увеличиваем и уменьшаем
