Историческая беседа. Простые числа

Определения и обозначения

Натуральное число — число, используемое при счёте: 1, 2, 3 и так далее. В этой теме особенно рассматривают натуральные числа, большие 1. Это условие нужно потому, что число 1 имеет особый статус и не относится ни к простым, ни к составным.

Делитель натурального числа — натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Например, 3 является делителем 12, потому что 12 : 3 = 4. По списку делителей определяют, к какому виду относится число.

Простое число — натуральное число больше 1, имеющее ровно два натуральных делителя: 1 и само число. Например, у числа 7 делители 1 и 7. Поэтому простые числа нельзя разделить без остатка на другие натуральные числа.

Составное число — натуральное число больше 1, имеющее более двух натуральных делителей. У числа 12 есть делители 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Такие числа можно представить как произведение меньших натуральных чисел.

Как это устроено

Чтобы отличить простое число от составного, составляют список его делителей. У любого числа больше 1 уже есть два делителя: 1 и само число. Если находится ещё хотя бы один делитель, число становится составным; если дополнительных делителей нет, оно простое.

Число 1 не является ни простым, ни составным, потому что его единственный натуральный делитель — 1. Для простого числа требуется ровно два делителя, а для составного — больше двух. Значит, число 1 не подходит ни под одно из этих определений.

Составное число можно разложить на множители, то есть представить в виде произведения чисел. Например, 18 = 2 · 9 = 3 · 6, поэтому 2, 3, 6 и 9 являются его делителями, кроме 1 и 18. Разложение показывает, откуда появляются дополнительные делители и почему число составное.

Небольшое число проверяют последовательно: сначала смотрят, делится ли оно на 2, затем на 3 и на следующие числа вплоть до самого числа. Деление без остатка на число, отличное от 1 и самого проверяемого числа, сразу доказывает составность. Если такой делитель не найден, число простое.

Для быстрого поиска простых чисел используют решето Эратосфена. Выписывают числа от 2 до выбранной границы и вычёркивают числа, кратные 2, затем кратные следующему невычеркнутому числу 3 и так далее. Оставшиеся числа не имеют найденных дополнительных делителей, поэтому являются простыми.

Сравнение простых и составных чисел

Сначала убедитесь, что число натуральное и больше 1, а затем посчитайте его делители. Ровно два делителя означают, что число простое, а больше двух — что оно составное. Число 1 нужно рассматривать отдельно: в таблицу простых и составных чисел оно не входит.

Разбор задач

Задача 1. Определить, простое или составное число 7

Нужно выяснить, есть ли у 7 делители, кроме 1 и самого числа. Проверим деление на числа между 1 и 7. Если ни одно из них не разделит 7 без остатка, число будет простым.

1. Число 7 делится на 1 и на 7.
2. Проверяем 2, 3, 4, 5 и 6: ни одно из этих чисел не является делителем 7.
3. У 7 ровно два натуральных делителя.

Ответ: 7 — простое число. Его делители — 1 и 7.

Задача 2. Определить, простое или составное число 12

Перечислим все натуральные числа, на которые 12 делится без остатка. Делитель удобно искать парами: если 12 = 2 · 6, то и 2, и 6 являются делителями. Наличие хотя бы одного делителя, кроме 1 и 12, уже достаточно для вывода.

1. 12 делится на 1 и 12.
2. Также 12 делится на 2, 3, 4 и 6.
3. Получилось больше двух делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Ответ: 12 — составное число. Например, его можно разложить так: 12 = 3 · 4.

Задача 3. Найти простые числа от 2 до 20 решетом Эратосфена

Запишем числа от 2 до 20. Первое число 2 оставляем, а числа, кратные 2, вычёркиваем; затем так же поступаем с каждым следующим невычеркнутым числом. Вычеркнутые числа составные, потому что делятся на уже найденное простое число.

1. Оставляем 2 и вычёркиваем 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.
2. Следующее невычеркнутое число 3: оставляем его и вычёркиваем 6, 9, 12, 15, 18.
3. Следующее число 5 оставляем и вычёркиваем 10, 15, 20.
4. Число 7 тоже оставляем; остальные невычеркнутые числа проверены этим способом.

Ответ: простые числа от 2 до 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Остальные числа в диапазоне составные.

Типичные ошибки

Ошибка: называть число 1 простым. Так делают, когда помнят только условие делимости, но забывают о двух делителях. Проверьте список: у 1 есть только один делитель, поэтому она не простая и не составная.

Ошибка: считать число 2 составным, потому что оно чётное. Чётность сама по себе не означает наличие более двух делителей. У 2 только делители 1 и 2, значит, это простое число.

Ошибка: проверять число только на делимость на 2. Нечётное число тоже может быть составным: например, 9 делится на 3. Проверяйте и другие возможные делители.

Ошибка: путать делитель и кратное. Делитель делит число без остатка, а кратное получается при умножении числа на натуральное число. В равенстве 12 = 3 · 4 числа 3 и 4 — делители 12, а 12 — кратное 3 и 4.

Связь с другими темами

До изучения простых чисел нужно понимать, что такое натуральные числа, деление с остатком и делимость без остатка. Эти знания помогают правильно находить делители и отличать точное деление от деления с остатком.

Простые числа используются при разложении чисел на простые множители, сокращении дробей и поиске общего знаменателя. Поэтому умение распознавать простые числа пригодится в дальнейших действиях с числами и дробями.

Что запомнить

• Простое число больше 1 и имеет ровно два натуральных делителя.
• Составное число больше 1 и имеет более двух натуральных делителей.
• Число 1 не является ни простым, ни составным.
• Число 2 — единственное чётное простое число.
• У любого простого числа есть делители 1 и само число.
• Решето Эратосфена помогает находить простые числа в заданном диапазоне.