Тема 21. НОД и НОК

Определения и обозначения

Делитель числа — натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Например, 4 — делитель 12, потому что 12 : 4 = 3. Перечень делителей помогает понять, на какие равные группы можно разделить предметы без остатка. Это первый шаг, когда нужно найти общий делитель нескольких чисел.

Общий делитель нескольких чисел — число, которое является делителем каждого из них. Например, 3 — общий делитель чисел 12 и 18: оба числа делятся на 3 без остатка. Общие делители показывают, какие размеры равных групп подходят сразу для всех чисел. Среди них можно искать самый большой.

Наибольший общий делитель, или НОД, — самый большой из общих делителей данных чисел. Например, если общие делители 12 и 18 — это 1, 2, 3 и 6, то их НОД равен 6. Он нужен, чтобы узнать наибольшую общую часть или размер равных групп, подходящий для каждого числа. Запись НОД(12, 18) означает НОД чисел 12 и 18.

Наименьшее общее кратное, или НОК, — наименьшее положительное число, которое кратно каждому из данных чисел. Например, 24 кратно и 6, и 8, а меньшего общего положительного кратного у них нет, поэтому НОК(6, 8) = 24. НОК помогает найти момент, когда повторяющиеся события совпадут. Важно, что ищут именно положительное число.

Как это устроено

Чтобы найти общие делители перебором, сначала выписывают все делители каждого числа. Затем сравнивают списки: в общий список попадают только те числа, которые встретились в каждом из них. НОД — самое большое число в этом общем списке. Такой способ работает, потому что любой общий делитель обязательно должен присутствовать среди делителей каждого числа.

Общие кратные можно искать, записывая числа, полученные при умножении каждого исходного числа на 1, 2, 3 и так далее. Если списки пока не совпали, их продолжают: у чисел бесконечно много кратных, поэтому общее кратное обязательно найдётся. Первое совпавшее положительное число и есть НОК. Нельзя остановиться на первом кратном только одного числа: оно должно делиться на все исходные числа.

Для больших чисел перебор делителей бывает долгим, поэтому удобно разложить числа на простые множители. Простое число делится без остатка только на 1 и на себя, а разложение показывает, из каких таких множителей составлено число. Для НОД оставляют только простые множители, которые есть во всех разложениях. Если множитель повторяется, берут столько его повторений, сколько встречается в разложении с меньшим числом повторений: так результат не окажется слишком большим и останется делителем каждого числа.

При поиске НОК по разложениям нужно, чтобы полученное число делилось на каждое исходное число. Поэтому учитывают каждый простой множитель, который встречается хотя бы в одном разложении, а повторяющиеся множители берут в наибольшем нужном количестве. Иначе одному из исходных чисел может не хватить множителя для делимости. Так, множитель, встречающийся только в одном разложении, всё равно необходим для общего кратного.

Если одно число делится на другое, отдельный перебор или разложение не требуется. Меньшее число делит себя и, по условию, большее число, поэтому оно является общим делителем и самым большим возможным. Большее число делится на себя и на меньшее, значит, оно кратно обоим и является наименьшим общим кратным. Любое общее кратное должно делиться на большее число и потому не может быть меньше него.

Сравнение НОД и НОК

Сначала определите, что нужно искать: общий делитель или общее кратное. Затем выберите подходящий столбец и способ: перебор удобен для небольших чисел, а разложения помогают при больших. Особый случай позволяет быстро проверить результат, если одно число делится на другое.

Разбор задач

Задача 1. Найдите НОД(12, 18), выписав делители каждого числа. Нужно сравнить два списка, потому что НОД должен быть делителем и 12, и 18. Среди совпавших делителей выберем самый большой.

1. Запишем делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Проверка: каждое из этих чисел делит 12 без остатка. Этот список полный, потому что других натуральных делителей у 12 нет.

2. Запишем делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Сравним список с делителями 12. Совпали числа 1, 2, 3 и 6.

3. Выберем наибольшее совпавшее число: это 6. Оно делит оба исходных числа, а большего общего делителя в списках нет. Значит, НОД(12, 18) = 6.

Ответ: 6.

Задача 2. Найдите НОК(6, 8), выписав первые кратные каждого числа. Ищем число, которое встречается в обоих списках, и не останавливаемся, пока такое совпадение не найдено. Кратные перечислим начиная с самого числа, то есть с положительных кратных.

1. Запишем кратные 6: 6, 12, 18, 24. Каждое получается умножением 6 на натуральное число. Если в списке нет совпадения, можно продолжать его дальше.

2. Запишем кратные 8: 8, 16, 24. Сравним их с кратными 6. Первое общее число — 24.

3. Проверим: 24 : 6 = 4 и 24 : 8 = 3, значит, 24 делится на оба числа. Более раннего совпадения в списках нет. Следовательно, НОК(6, 8) = 24.

Ответ: 24.

Задача 3. Найдите НОД(36, 60) и НОК(36, 60) с помощью разложения на простые множители. Сначала разложим оба числа, а затем применим разные правила для НОД и НОК. Это важно, потому что у этих величин разные задачи: первая использует общие множители, вторая — все нужные множители.

1. Разложим числа: 36 = 2² · 3², 60 = 2² · 3 · 5. Общими простыми множителями являются 2 и 3. Для каждого возьмём меньший показатель: 2² и 3.

2. Перемножим общие множители: 2² · 3 = 4 · 3 = 12. Значит, НОД(36, 60) = 12. Множитель 5 не входит в оба разложения, поэтому для НОД его не берём.

3. Для НОК возьмём все множители 2, 3 и 5 с наибольшими показателями: 2², 3² и 5. Вычислим: 4 · 9 · 5 = 180. Поэтому НОК(36, 60) = 180.

Ответ: НОД(36, 60) = 12, НОК(36, 60) = 180.

Типичные ошибки

Иногда НОД называют наименьшим общим делителем, путая слова в названии. Так бывает, если запомнить только слово «общий» и не проверить, что означает буква «Н». Перечислите общие делители и выберите самый большой. Например, у 12 и 18 общий делитель 1 не является НОД, потому что есть общий делитель 6.

При поиске НОК можно выбрать первое кратное одного числа, не проверив второе. Например, 12 — кратное 6, но не кратное 8, поэтому оно не может быть НОК(6, 8). Проверяйте делимость найденного числа на каждое исходное. Если хотя бы при одном делении остаётся остаток, число не подходит.

При разложении на множители для НОД иногда берут множитель, который встречается только в одном числе. Эту ошибку допускают, перенося в ответ всё разложение сразу. Для НОД оставляйте только множители, присутствующие в обоих разложениях. Проверка простая: результат должен делить без остатка каждое из исходных чисел.

Для НОК, наоборот, иногда оставляют только общие множители. Так делают, потому что путают правило для НОК с правилом для НОД. В НОК необходимо учесть множители из обоих разложений, даже если какой-то из них есть лишь в одном. Проверьте ответ делением: НОК должен делиться на каждое исходное число.

Связь с другими темами

Чтобы находить НОД и НОК, сначала нужно уметь перечислять делители и кратные натурального числа. Также важно проверять делимость: это помогает понять, подходит ли число для общего делителя или кратного. Эти действия уже знакомы по работе с натуральными числами.

Разложения на простые множители используют, когда перебор становится неудобным. Для этого нужно знать, чем простые числа отличаются от составных, и уметь разложить число на простые множители. Повторяющиеся множители записывают с помощью степени, например 2² означает 2 · 2.

НОД и НОК пригодятся при работе с дробями. НОД помогает сокращать дробь: делить числитель и знаменатель на общий делитель. НОК используют, чтобы подобрать общий знаменатель при сложении или вычитании дробей с разными знаменателями.

Что запомнить

• НОД — наибольший из общих делителей чисел.
• НОК — наименьшее положительное из общих кратных.
• НОД не может быть больше каждого из данных чисел.
• НОК не меньше каждого из данных чисел.
• При разложении на простые множители для НОД берут общие множители.
• Для НОК учитывают все множители из разложений.