Историческая беседа. Теория чисел

Определения и обозначения

Теория чисел — раздел математики, который изучает натуральные числа, их свойства и отношения между ними. К натуральным относят числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. Например, можно выяснять, делится ли одно число на другое без остатка. Это помогает замечать закономерности и решать задачи о числах.

Простое число — натуральное число больше 1, у которого ровно два натуральных делителя: 1 и само это число. Например, у числа 7 делители только 1 и 7. Проверка делителей позволяет понять, можно ли разделить число на меньшие части без остатка. Число 2 — самое маленькое простое число.

Составное число — натуральное число больше 1, у которого есть делители, отличные от 1 и самого числа. Так, у 8 есть делители 2 и 4, поэтому 8 составное. Зная это определение, можно отличить число, которое раскладывается на меньшие множители, от простого. Например, 8 = 2 · 4.

Решето Эратосфена — способ находить простые числа в выбранном промежутке, вычёркивая кратные уже найденных простых чисел. Кратные числа получаются умножением числа на 1, 2, 3 и так далее. Например, кратные 2 — это 2, 4, 6, 8. Метод помогает не проверять каждое число отдельно.

Как это устроено

Простые числа называют строительными блоками натуральных чисел, потому что составное число можно представить как произведение простых. Например, 18 = 2 · 3 · 3. Если один из множителей ещё составной, его тоже можно разложить, пока не останутся только простые числа. Поэтому простые множители показывают, из каких основных частей состоит число.

Чтобы отличить простое число от составного, ищут делители, кроме 1 и самого числа. Если такой делитель нашёлся, число составное; если нет — простое. Число 1 стоит отдельно: оно имеет только один натуральный делитель, а не два. Благодаря этому правило о простых множителях остаётся ясным: 1 не называют простым множителем.

Решето Эратосфена начинают с ряда чисел от 2 до выбранной границы. Сначала вычёркивают 1, потому что она не простая, затем оставляют 2 и вычёркивают остальные числа, кратные 2. Следующее невычеркнутое число — 3: его оставляют, а его большие кратные вычёркивают. Потом так же поступают с 5 и дальнейшими невычеркнутыми числами. Они не вычёркиваются сами, потому что нужно удалить только их кратные, а не простые числа.

Рассмотрим число 12: его разложение на простые множители — 12 = 2 · 2 · 3. Чтобы увидеть делители, можно составлять произведения из этих множителей: 2, 3, 2 · 2 = 4 и 2 · 3 = 6. Также получаются 1 и всё число 12; вместе делители — 1, 2, 3, 4, 6, 12. Значит, разложение показывает, из каких простых частей можно составить делитель.

Свойства чисел изучали ещё в древности, потому что людям нужно было считать, делить предметы и находить повторяющиеся закономерности. Наблюдения о делимости и простых числах постепенно накапливались и становились предметом отдельных рассуждений. Так развивалась теория чисел — область математики, в которой изучают свойства натуральных чисел. Исторические примеры показывают, что даже простые вопросы о делителях могут привести к большим открытиям.

Простые и составные числа

Сначала проверьте, больше ли число 1: если нет, оно не простое и не составное. Для остальных чисел посмотрите, есть ли делитель, отличный от 1 и самого числа. Такой делитель означает, что число составное; если его нет — простое.

Разбор задач

Задача 1. Определите, какие из чисел 2, 9 и 1 являются простыми, составными или не относятся ни к одному из этих видов.

Для каждого числа проверим число его натуральных делителей. Простому нужны ровно два делителя, а составному — хотя бы один дополнительный делитель, кроме 1 и самого числа. Число 1 проверим отдельно, потому что по определению простые и составные числа должны быть больше 1.

1. Число 2 делится на 1 и 2, других натуральных делителей у него нет. Значит, 2 простое.
2. Число 9 делится на 1, 3 и 9. Делитель 3 отличается от 1 и 9, поэтому 9 составное.
3. У числа 1 только один делитель — 1. Оно не простое и не составное.

Ответ: 2 — простое; 9 — составное; 1 не относится ни к простым, ни к составным.

Задача 2. Разложите число 36 на простые множители и перечислите его делители.

Сначала разложим 36 на множители, пока каждый множитель не станет простым. Затем составим делители из этих простых множителей. Проверка нужна, чтобы не забыть ни один делитель и не записать число, которое не делит 36 без остатка.

1. 36 делится на 2: 36 = 2 · 18.
2. 18 делится на 2: 18 = 2 · 9, а 9 = 3 · 3. Получаем 36 = 2 · 2 · 3 · 3.
3. Составляем делители: 1, 2, 3, 2 · 2 = 4, 2 · 3 = 6, 3 · 3 = 9, 2 · 2 · 3 = 12, 2 · 3 · 3 = 18 и 36.

Ответ: 36 = 2 · 2 · 3 · 3; делители числа 36 — 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Задача 3. Найдите все простые числа от 2 до 30 с помощью решета Эратосфена.

Запишем числа от 2 до 30 и будем убирать те, которые точно составные. Сначала достаточно рассмотреть кратные 2, 3 и 5: дальше подходящие делители уже не дадут новых чисел в этом промежутке. Само число 2, 3 или 5 не вычёркиваем, потому что оно простое.

1. Оставляем 2, а кратные 2 больше него вычёркиваем: 4, 6, 8 и так далее до 30.
2. Следующее невычеркнутое число — 3. Оставляем его, вычёркиваем большие кратные 3, например 9, 15, 21, 27.
3. Оставляем 5 и вычёркиваем ещё не вычеркнутые кратные 5: 25. Не вычеркнутые числа, большие 5, простые.

Ответ: простые числа от 2 до 30 — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Типичные ошибки

Считать число 1 простым — ошибка: у него один делитель, тогда как у простого числа должно быть ровно два. Так думают, потому что 1 делит любое натуральное число. Проверьте число делителей: у 1 только один, и в определении простого числа отдельно указано, что оно больше 1.

Называть число простым после проверки только делимости на 2 нельзя: нечётное число тоже может быть составным. Например, 9 нечётное, но делится на 3. Чтобы проверить себя, ищите и другие возможные делители, а не ограничивайтесь чётностью числа.

При работе с решетом иногда вычёркивают и само простое число вместе с его кратными. Это происходит, если понимать слово «кратные» как все числа из ряда, включая первое. Оставляйте простое число, а вычёркивайте только кратные, которые больше него: например, при шаге 3 не вычёркивайте саму 3.

Простые множители числа — не обязательно все его делители. Например, у 12 множители в разложении — 2, 2 и 3, но делителями являются также 4 и 6. Ошибка возникает, когда список множителей принимают за список делителей. Проверьте каждый найденный делитель умножением или делением: число должно делиться на него без остатка.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны натуральные числа, умножение и деление, а также понятия делителя и кратного. Разложение на простые множители помогает находить делители числа и пригодится при сокращении дробей. Оно также используется в задачах на делимость, где нужно выяснить, делится ли одно число на другое. История развития теории чисел показывает, как наблюдения за натуральными числами стали отдельной математической областью.

Что запомнить

• Теория чисел изучает свойства натуральных чисел.
• У простого числа ровно два натуральных делителя.
• Составное число больше 1 и имеет больше двух натуральных делителей.
• Число 1 не является ни простым, ни составным.
• Составное число можно разложить на простые множители.
• Решето Эратосфена помогает находить простые числа в заданном промежутке.