"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Делимость помогает понять, можно ли разделить одно натуральное число на другое без остатка. Если это возможно, числа связаны умножением: делимое равно делителю, умноженному на частное. Чтобы не выполнять деление каждый раз, используют признаки делимости — правила, которые позволяют проверить число по его записи. Они пригодятся при вычислениях, сокращении дробей и поиске общих делителей и кратных.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Одно натуральное число делится на другое, если при делении получается натуральное число без остатка. Например, 12 делится на 3, потому что 12 : 3 = 4. Если же при делении остаётся остаток, делимость не выполняется. Это определение помогает отличить точное деление от деления с остатком.
Делителем числа называют такое натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Например, из равенства 12 = 3 · 4 видно, что 3 и 4 — делители числа 12. Это понятие нужно, чтобы находить числа, на которые можно разделить данное число поровну. Само число тоже является своим делителем: 12 : 12 = 1.
Кратное числа — это число, которое получается при умножении данного числа на натуральное число. Например, 15 — кратное 5, потому что 5 · 3 = 15. Чтобы получить кратные 5, можно умножать его на 1, 2, 3 и дальше. Так находят числа, которые делятся на исходное число без остатка.
Признак делимости — это правило, которое позволяет определить делимость числа, не выполняя само деление. Например, чтобы проверить делимость на 2, достаточно посмотреть на последнюю цифру. Признаки экономят время и помогают быстро выбирать подходящие делители. Если признак не даёт ответа, можно проверить число обычным делением.
Делимость можно записать с помощью умножения: если число делится на другое, то делимое равно произведению делителя и частного. Например, 20 : 5 = 4 без остатка, поэтому 20 = 5 · 4. Обратно, если число представлено произведением 5 · 4, оно делится на 5 и на 4. Такая запись удобна, потому что связывает деление с уже знакомым умножением.
У числа бывает несколько делителей, потому что его можно представить в виде разных произведений. Например, 12 = 1 · 12 = 2 · 6 = 3 · 4, поэтому делителями 12 являются 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Кратных у числа тоже много: чтобы получить кратные 3, умножаем 3 на 1, 2, 3, 4 и так далее. Делители делят данное число, а кратные, наоборот, получаются из него умножением.
Признак делимости на 2 следует из десятичной записи числа. Любое число можно представить как сумму разрядных слагаемых и последней цифры; десятки, сотни и следующие разряды делятся на 2. Поэтому на делимость влияет только единицы: число делится на 2, если последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8. Такие числа называют чётными.
У признаков делимости на 5 и 10 та же причина: десятки, сотни и более крупные разряды делятся и на 5, и на 10. Остаток зависит только от числа единиц. Поэтому число делится на 5, если оканчивается на 0 или 5, а на 10 — только если оканчивается на 0. Например, 135 делится на 5, но не делится на 10.
Для проверки на 3 и 9 складывают все цифры числа. Дело в том, что 10 при делении на 3 или 9 даёт такой же остаток, как 1; это верно и для 100, 1000 и следующих степеней десяти. Поэтому сумма разрядных слагаемых и сумма цифр имеют одинаковый остаток при делении на 3 и на 9. Если сумма цифр делится на 3 или на 9, то и исходное число делится соответственно на 3 или на 9.
| На какое число проверяют делимость | Признак |
|---|---|
| 2 | Последняя цифра числа чётная |
| 3 | Сумма цифр числа делится на 3 |
| 5 | Последняя цифра числа 0 или 5 |
| 9 | Сумма цифр числа делится на 9 |
| 10 | Последняя цифра числа 0 |
Сначала определите, на какое число проверяете делимость, затем найдите нужный признак в таблице. Для проверки на 2, 5 и 10 смотрите на последнюю цифру, а для 3 и 9 складывайте цифры числа. Если условие выполнено, число делится без остатка.
Задача 1. Проверьте, делится ли 348 на 2, и назовите его частное. Сначала применим признак: последняя цифра числа — 8, она чётная, значит, делимость на 2 есть. Затем выполним деление, чтобы найти частное.
Ответ: 348 делится на 2, частное равно 174. Проверка умножением подтверждает, что остатка нет. Признак помог определить делимость до выполнения деления.
Задача 2. Определите, делится ли 735 на 3, 5 и 9. Для 3 и 9 найдём сумму цифр, а для 5 проверим последнюю цифру. Так каждый признак применяется отдельно.
Ответ: 735 делится на 3 и на 5, но не делится на 9. Для делимости на 3 и 9 важна сумма всех цифр, а для делимости на 5 — последняя цифра. Проверка показывает, что один и тот же признак не подходит для всех делителей.
Задача 3. Найдите все цифры, которые можно поставить вместо звёздочки в числе 4*2, чтобы оно делилось на 9. Цифру звёздочки обозначим буквой, например x. По признаку делимости на 9 сумма цифр числа должна делиться на 9.
Ответ: вместо звёздочки можно поставить только цифру 3, и получится число 432. Сумма его цифр равна 9, поэтому 432 делится на 9. Других подходящих цифр нет, потому что x не может быть больше 9.
Ошибка: считать, что число делится на другое, даже если при делении получился остаток. Так бывает, когда внимание обращают только на результат деления, а остаток забывают проверить. Делимость означает, что остаток равен нулю. Проверьте себя умножением: делитель, умноженный на частное, должен дать делимое.
Ошибка: путать делитель и кратное. Делитель — число, на которое делят данное число без остатка, а кратное получают умножением на него. Путаница возникает потому, что эти понятия связаны одной операцией, но описывают её с разных сторон. Для проверки спросите себя: данное число делят на это число или получают из него умножением?
Ошибка: проверять делимость на 3 или 9 только по последней цифре. Это правило годится для некоторых других делителей, но для 3 и 9 нужно сложить все цифры. Ученик может перенести знакомый признак делимости на 2 на другую задачу. Переспросите себя, какой признак нужен, и обязательно найдите сумму цифр.
Ошибка: считать любое число, оканчивающееся на 5, делящимся на 10. Число 5 делится на 5, но не делится на 10, потому что при делении на 10 получается остаток. Это происходит из-за смешения двух похожих признаков. Для проверки на 10 ищите на конце именно 0.
Для работы с делимостью нужно уметь делить натуральные числа и различать делимое, делитель и частное. Также полезно понимать разряды десятичной записи: именно они объясняют признаки делимости по последней цифре и сумме цифр. Эти правила пригодятся при сокращении дробей и разложении чисел на простые множители. Делители и кратные используют и тогда, когда ищут общий делитель или общее кратное нескольких чисел.
Что значит, что одно число делится на другое?
Это значит, что при делении получается натуральное число без остатка. Например, 12 делится на 3, потому что 12 : 3 = 4.
Чем делитель отличается от кратного?
Делитель — число, на которое делят без остатка; например, 3 — делитель числа 12. Кратное получается умножением числа на натуральное число: 12 — кратное 3, потому что 3 · 4 = 12.
Как быстро проверить делимость числа на 2, 5 или 10?
Посмотрите на последнюю цифру числа. Для делимости на 2 она должна быть чётной, на 5 — равняться 0 или 5, а на 10 — быть равной 0.
Почему делимость на 3 и 9 проверяют по сумме цифр?
В десятичной записи разряды, кроме единиц, содержат множители 10, 100, 1000 и так далее. При делении на 3 или 9 эти числа дают тот же остаток, что и 1, поэтому остаток всего числа определяется суммой его цифр.
Может ли одно число иметь несколько делителей и кратных?
Да. Например, у 12 есть делители 1, 2, 3, 4, 6 и 12. У числа 3 кратные 3, 6, 9, 12 и другие числа, полученные умножением 3 на натуральное число.
Тема 17. Делится — не делится ....
