Математический кружок. Последняя цифра

Определения и обозначения

Последняя цифра числа — цифра в разряде единиц; она совпадает с остатком от деления числа на 10. Например, у числа 347 последняя цифра — 7, и остаток при делении 347 на 10 тоже равен 7. Это определение помогает сосредоточиться на нужном разряде, не выполняя лишних действий с остальными цифрами.

Последняя цифра степени — цифра в разряде единиц результата возведения числа в степень. Например, в числе 2³ = 8 последняя цифра равна 8. Часто само значение степени велико, но для ответа о цифре единиц его не требуется вычислять целиком.

Цикл последних цифр — последовательность цифр единиц, которая повторяется при увеличении показателя степени. У степеней числа 2 последовательность начинается так: 2, 4, 8, 6, а дальше повторяется. Цикл нужен, чтобы находить последнюю цифру степени с большим показателем по нескольким знакомым цифрам.

Длина цикла — количество цифр в одном полном повторении цикла. Например, в цикле 2, 4, 8, 6 четыре цифры, значит, его длина равна 4. Зная длину, можно определить, на каком месте цикла окажется нужная степень.

Как это устроено

Для последней цифры степени достаточно знать последнюю цифру основания. Причина в том, что при умножении цифра единиц произведения определяется цифрами единиц множителей: например, у 23 · 17 цифра единиц такая же, как у 3 · 7, то есть 1. Степень — это повторное умножение основания на само себя, поэтому остальные цифры основания не нужны. Так можно заменить, например, 23⁴ степенью 3⁴, если требуется только цифра единиц.

Последовательность последних цифр степеней получают, последовательно умножая предыдущую степень на основание. Чтобы не считать всё число, после каждого умножения оставляют только цифру единиц. Например, для основания 2 начинаем с 2, затем получаем 2 · 2 = 4, потом 4 · 2 = 8, далее 8 · 2 = 16 и записываем только 6. Так шаг за шагом появляется последовательность 2, 4, 8, 6.

Цифры единиц повторяются, потому что при каждом умножении учитывается только остаток при делении на 10. Таких остатков всего десять: от 0 до 9, поэтому возможных состояний немного. Если в последовательности снова появляется уже встречавшаяся цифра, дальнейшие умножения повторят тот же ход. Значит, можно найти короткий цикл и не продолжать вычисления до огромного показателя.

Чтобы определить место показателя в цикле, раздели его на длину цикла и найди остаток. При ненулевом остатке этот остаток и есть номер нужного места: например, остаток 2 указывает на второй элемент. Для степени 2⁵ цикл имеет длину 4, а 5 при делении на 4 даёт остаток 1, поэтому нужна первая цифра цикла. Этот способ превращает большой показатель в небольшое число.

Если показатель делится на длину цикла без остатка, нужно взять последнюю цифру полного цикла. Например, остаток 0 при длине 4 означает, что показатель приходится на четвёртое место, а не на первое. Это можно представить как завершённый круг: после последнего элемента начинается новый, но степень, соответствующая концу круга, остаётся на последнем месте. Поэтому ноль заменяют номером последнего места цикла.

Циклы последних цифр степеней

В таблице для каждого основания указана его последняя цифра, затем цифры одного полного цикла и длина цикла. Цикл начинают с цифры первой степени, то есть с последней цифры основания. Чтобы решить задачу, найди в таблице нужную строку, раздели показатель на указанную длину и выбери цифру в нужном месте.

Разбор задач

Задача. Найти последнюю цифру числа 2⁵. Решение: нам не нужно вычислять степень полностью: рассмотрим цикл для последней цифры основания 2. В нём цифры идут по порядку 2, 4, 8, 6, а длина равна 4. Определим, какое место занимает пятая степень.

1. Показатель равен 5, длина цикла — 4.
2. Делим 5 на 4: получаем 1 и остаток 1.
3. Ненулевой остаток указывает на первое место цикла; там стоит 2.

Ответ: последняя цифра числа 2⁵ — 2. Проверка: 2⁵ = 32, и его цифра единиц действительно равна 2.

Задача. Найти последнюю цифру числа 7¹⁰⁰. Решение: основание уже оканчивается на 7, а цикл его степеней — 7, 9, 3, 1. В нём четыре элемента, поэтому достаточно узнать остаток от деления показателя на 4. Здесь остаток равен нулю, значит, показатель завершает полный цикл.

1. Длина цикла для 7 равна 4.
2. Делим 100 на 4: 100 = 4 · 25, остаток 0.
3. При нулевом остатке выбираем четвёртый, последний элемент цикла — 1.

Ответ: последняя цифра числа 7¹⁰⁰ — 1. Это не первая цифра цикла: нулевой остаток означает конец полного повторения.

Задача. Найти последнюю цифру суммы 3⁴⁵ + 8³². Решение: сначала разберём каждую степень отдельно, поскольку у них разные циклы. Для основания 3 цикл равен 3, 9, 7, 1; для основания 8 — 8, 4, 2, 6. После нахождения цифр единиц сложим их и оставим цифру единиц суммы.

1. Для 3⁴⁵ длина цикла равна 4; 45 при делении на 4 даёт остаток 1, значит, нужна первая цифра 3.
2. Для 8³² длина цикла тоже равна 4; 32 делится на 4 без остатка, значит, нужна последняя цифра цикла — 6.
3. Складываем найденные цифры: 3 + 6 = 9. Цифра единиц суммы равна 9.

Ответ: последняя цифра суммы 3⁴⁵ + 8³² — 9.

Типичные ошибки

Ошибка — использовать всё основание вместо его последней цифры. Её допускают, когда пытаются умножать большие числа целиком и теряют из виду, что требуется только разряд единиц. Перед вычислениями замени основание его остатком при делении на 10. Проверка простая: в таблице выбирается строка по последней цифре основания, а не по самому числу.

Ошибка — путать длину цикла с его последней цифрой. Например, у последовательности 2, 4, 8, 6 последняя цифра цикла — 6, но длина цикла — 4. Путаница возникает из-за похожих слов «последняя» и «длина», хотя они отвечают на разные вопросы. Пересчитай элементы: количество записанных цифр и есть длина.

Ошибка — при нулевом остатке выбирать первый элемент цикла. Так делают, потому что остаток 0 ошибочно принимают за номер первой позиции. На самом деле он показывает, что закончился полный круг, значит, нужна последняя позиция. Для проверки раздели длину цикла на неё саму: остаток будет 0, а соответствующая степень стоит на последнем месте.

Ошибка — считать любой остаток номером позиции без поправки. Это верно только для ненулевого остатка; при остатке 0 номером становится длина цикла. Ошибка появляется, если механически поставить ноль в качестве номера элемента, которого в цикле нет. Проверь остаток до выбора цифры: если он положительный, бери это место, если нулевой — последнее.

Связь с другими темами

Для работы с последними цифрами нужны умножение, деление с остатком и умение находить остаток при делении на 10. Эти навыки помогают понять, почему целое основание можно заменить его цифрой единиц. Также тема связана со степенями: степень показывает, сколько одинаковых множителей участвует в произведении. Циклы последних цифр пригодятся в задачах на делимость и остатки, где важно не само большое число, а результат его деления или последняя цифра.

Что запомнить

• Последняя цифра числа — это его остаток при делении на 10.
• Для последней цифры степени достаточно последней цифры основания.
• Последние цифры степеней повторяются циклически.
• Чтобы определить место в цикле, раздели показатель на длину цикла.
• Если показатель делится на длину цикла без остатка, выбирай последний элемент цикла.
• Последнюю цифру суммы находят по последним цифрам слагаемых.