З Задания к теме 18

Определения и обозначения

Процент — сотая доля величины, обозначаемая знаком %. Например, 1% от ста яблок — это одно яблоко, а 10% — десять яблок. Такое обозначение удобно, когда часть сравнивают с целым, принятым за сто равных частей. Поэтому проценты помогают наглядно описывать доли и сравнивать результаты.

Процент от числа — часть числа, найденная по заданному количеству процентов. Например, если нужно найти 20% от 50, надо выяснить, сколько составляют двадцать сотых от пятидесяти. Это понятие нужно, когда известна вся величина и требуется узнать её часть. Так можно вычислить, например, количество предметов, составляющих заданную долю от общего количества.

Число по его проценту — величина, восстановленная по известной части и соответствующему проценту. Если известно, что 30% некоторого числа равны 45, требуется узнать всё число, а не ещё одну его часть. Для этого находят, сколько приходится на 1%, и затем восстанавливают целое. Такой способ применяют, когда в условии дана часть, но неизвестна общая величина.

Процентное отношение — отношение одной величины к другой, выраженное в процентах. Например, можно узнать, какую долю класса составляют отличники, сравнив число отличников со всем количеством учеников. Это понятие нужно, чтобы выразить сравнение величин в форме «сколько процентов». Важно заранее определить, какая величина считается целым, то есть составляет 100%.

Как это устроено

Знак % означает «из ста», поэтому 1% — это одна часть из ста одинаковых частей целого. Если число процентов разделить на 100, получится такая же доля в виде дроби: например, 18% = 18/100 = 0,18. Деление на 100 не меняет смысл величины, а только переводит её из записи в процентах в десятичную дробь. С этой дробью удобно выполнять обычные действия умножения и деления.

Чтобы найти процент от числа, сначала переводят процент в дробь, а затем умножают на исходное число. Например, 20% от 50 — это 0,2 × 50, потому что 0,2 показывает, какую часть от целого нужно взять. Умножение на дробь меньше единицы обычно даёт число меньше исходного, что соответствует поиску части. Если получился результат больше целого, стоит проверить перевод процентов и вычисления.

При поиске числа по известному проценту известная часть соответствует только некоторой доле целого. Чтобы восстановить целое, эту часть делят на долю, записанную дробью: например, деление на 0,3 показывает, сколько раз такая доля помещается в числе. Делить нужно именно на десятичную дробь, а не на число процентов без знака. Результат должен быть больше известной части, если процент меньше 100%.

Чтобы узнать, сколько процентов составляет одна величина от другой, сначала делят первую величину на ту, с которой её сравнивают. Частное показывает долю сравниваемой величины, а умножение на 100% переводит эту долю в проценты. Например, отношение 12 к 30 равно 0,4, то есть 40%. Вторая величина здесь принята за целое и соответствует 100%.

В условии задачи ищите, что дано и что требуется получить. Если даны целое и процент, а спрашивают часть, нужно найти процент от числа; если дана часть и её процент, а спрашивают целое, нужно восстановить число. Если сравнивают две величины и спрашивают «сколько процентов составляет», требуется процентное отношение. Слова сами по себе не заменяют рассуждение: определите, какая величина является целым и какая часть известна.

Основные типы задач на проценты

Сначала найдите в условии данные из первого столбца, затем посмотрите, что требуется получить. Выберите соответствующее действие и проверьте, что величина, принятая за целое, выбрана правильно.

Разбор задач

Найти 18% от 250

Здесь известно целое число 250, а требуется найти только его часть. Значит, это задача на процент от числа, поэтому процент нужно перевести в дробь и умножить на целое. До вычислений полезно заметить, что 18% меньше 100%, значит ответ должен быть меньше 250.

1. Переводим проценты в десятичную дробь: 18% = 18 : 100 = 0,18.
2. Умножаем исходное число на полученную дробь: 250 × 0,18 = 45.
3. Проверяем смысл результата: 45 меньше 250, поэтому это может быть его частью.

Ответ: 45.

30% числа равны 45. Найти это число

Число целиком неизвестно, но известна его часть — 45, которая составляет 30%. Чтобы найти целое, нельзя умножать 45 на 0,3: это снова уменьшило бы известную часть. Нужно разделить известную часть на долю целого, соответствующую 30%.

1. Записываем 30% в виде десятичной дроби: 30% = 0,3.
2. Делим известную часть на эту дробь: 45 : 0,3 = 150.
3. Проверяем вычисление: 30% от 150 равны 0,3 × 150 = 45, как сказано в условии.

Ответ: 150.

В классе 12 отличников из 30 учеников. Сколько процентов учащихся составляют отличники?

В этой задаче требуется не количество отличников, а их доля от всего класса в процентах. Все 30 учеников принимаем за целое, то есть за 100%, а 12 сравниваем с этим количеством. Сначала найдём, какую часть класса составляют отличники, затем переведём эту часть в проценты.

1. Делим число отличников на число всех учеников: 12 : 30 = 0,4.
2. Переводим долю в проценты: 0,4 × 100% = 40%.
3. Проверяем направление сравнения: отличников меньше, чем всех учеников, поэтому результат меньше 100%.

Ответ: отличники составляют 40% учащихся класса.

Типичные ошибки

Ученик может принять процент за обычное число и, например, вместо 18% записать 18. Так происходит, если забыть, что знак % означает «из ста». Тогда вычисление даст неправильную часть, часто во много раз больше исходного числа. Для проверки сначала переведите процент в дробь: 18% = 0,18, а найденная часть при проценте меньше 100% должна быть меньше целого.

При нахождении числа по его проценту иногда умножают известную часть на процентную дробь. Эту ошибку допускают, потому что помнят правило умножения для нахождения части, но не замечают, что теперь целое неизвестно. Если 30% числа равны 45, умножение 45 на 0,3 даст число меньше 45 и не восстановит целое. Проверьте ответ обратным действием: процент от найденного числа должен равняться известной части.

Вопрос «сколько процентов от числа?» можно спутать с вопросом «сколько составляет процент от числа?». В первом случае нужно сравнить две величины и получить процентное отношение, а во втором целое и процент уже известны и требуется найти часть. Ошибка возникает, когда выбирают действие только по слову «процент». Перед решением запишите, что является целым, что известно и что спрашивается.

При сравнении величин за 100% иногда принимают не ту величину. Это происходит, если не заметить, от чего именно требуется найти процент, или поменять местами сравниваемые числа. Тогда результат может оказаться не тем, который отвечает вопросу. Проверьте себя: величина после слов «от чего» обычно и является целым; если сравнивают 12 учеников из 30, за 100% берут 30.

Связь с другими темами

Для работы с процентами нужны обыкновенные и десятичные дроби, а также умение умножать и делить числа. Перевод процентов в дробь опирается на понимание сотых долей. Полезно уметь сравнивать величины и решать простые текстовые задачи: это помогает верно определить, что в условии является целым, а что его частью. Проценты встречаются в задачах на скидки и наценки, состав и изменение величин, а также при изучении пропорций.

Что запомнить

• 1% = 1/100 = 0,01.
• Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на процент, записанный дробью.
• Чтобы найти число по его проценту, нужно известную часть разделить на процент, записанный дробью.
• Чтобы узнать, сколько процентов составляет одна величина от другой, нужно первую величину разделить на вторую и умножить на 100%.
• Величина, с которой сравнивают, принимается за 100%.
• Ответ в задачах на проценты должен соответствовать вопросу задачи и иметь правильные единицы измерения.