Математический кружок. Признаки делимости

Определения и обозначения

Делитель числа — число, на которое данное число делится без остатка. Например, 4 — делитель числа 20, потому что 20 : 4 = 5. Это понятие помогает находить числа, которые подходят для точного деления.

Кратное числа — число, которое делится на данное число без остатка. Кратные 6 можно получить умножением: 6, 12, 18, 24, потому что 6 · 1, 6 · 2, 6 · 3, 6 · 4 дают эти числа. Так легче составлять последовательность подходящих чисел.

Делимость — отношение между числами, при котором деление выполняется без остатка. Запись 35 : 7 = 5 показывает, что 35 делится на 7. Делимость позволяет установить точную связь между делимым и делителем.

Признак делимости — правило, позволяющее определить делимость числа, не выполняя само деление. Например, по последней цифре можно узнать, делится ли число на 2, 5 или 10. Такие правила экономят время и помогают проверять вычисления.

Как это устроено

Умножение помогает находить кратные числа, потому что каждое кратное получается умножением данного числа на натуральное число. Например, 7 · 1, 7 · 2 и 7 · 3 дают 7, 14 и 21 — первые кратные 7. Чтобы проверить, является ли число делителем, выполняют деление и смотрят, исчезает ли остаток.

Последняя цифра важна для делимости на 2, 5 и 10 из-за разрядного состава числа. Любое число можно представить как десятки и единицы, а десятки делятся на 2, 5 и 10 с соответствующими особенностями. Поэтому остаток при делении определяется единицами: на 2 подходят чётные цифры, на 5 — 0 и 5, на 10 — только 0.

Для делимости на 3 и 9 складывают все цифры числа. Это работает потому, что разрядные единицы 10, 100, 1000 и так далее при делении на 3 или 9 дают такой же остаток, как единица. Поэтому общий остаток числа можно определить по сумме его цифр, не выполняя длинное деление.

Несколько признаков можно применять последовательно, если нужно проверить разные условия. Например, для числа 450 сначала можно проверить последнюю цифру и установить делимость на 10, а затем сложить цифры и проверить делимость на 3 и 9. Каждый признак отвечает только на свой вопрос, поэтому результаты нужно записывать отдельно.

Признак делимости быстро проверяет вычисления и отсекает неподходящие варианты. Если в ответе получилось число, которое по последней цифре не делится на 5, оно не может быть правильным результатом деления на 5 без остатка. Так можно сначала исключить лишние варианты, а уже потом выполнять точные вычисления.

Признаки делимости натуральных чисел

Сначала определи, на какое число нужно проверить делимость, а затем выбери соответствующий признак. Для 2, 5 и 10 смотри на последнюю цифру, а для 3 и 9 складывай все цифры. В примерах таблицы достаточно выполнить указанное условие, чтобы сделать вывод о делимости.

Разбор задач

Задача 1

Определим, делится ли 248 на 2, 5 и 10. Нужно проверить одно и то же число по трём разным признакам. Сначала посмотрим на его последнюю цифру — это 8.

1. Для делимости на 2 последняя цифра должна быть чётной. Цифра 8 чётная, значит, 248 делится на 2.
2. Для делимости на 5 последняя цифра должна быть 0 или 5. Цифра 8 не подходит, значит, на 5 число не делится.
3. Для делимости на 10 последняя цифра должна быть 0. Цифра 8 не подходит, значит, на 10 число не делится.

Ответ: 248 делится на 2, но не делится на 5 и на 10.

Задача 2

Проверим, делится ли 372 на 3 и на 9. Для обоих признаков сначала нужна сумма всех цифр, поэтому складываем 3, 7 и 2. Получаем 3 + 7 + 2 = 12.

1. Число 12 делится на 3 без остатка. Значит, 372 делится на 3.
2. Число 12 не делится на 9 без остатка. Значит, 372 не делится на 9.

Ответ: 372 делится на 3, но не делится на 9.

Задача 3

Из цифр 2, 4 и 5 составим наибольшее трёхзначное число, делящееся на 3. Чтобы число было наибольшим, цифры нужно расположить по убыванию: 5, 4, 2. Проверим полученное число по сумме цифр.

1. Наибольшее число из данных цифр — 542.
2. Сумма его цифр равна 5 + 4 + 2 = 11.
3. Число 11 не делится на 3, поэтому 542 не подходит. Других вариантов расположения цифр с большим началом нет, но нужно проверить следующий вариант — 524.
4. Сумма цифр числа 524 также равна 11. Любая перестановка этих цифр имеет ту же сумму, поэтому ни одно такое число не делится на 3.

Ответ: составить такое число невозможно, потому что сумма цифр 2 + 4 + 5 = 11 и не делится на 3.

Типичные ошибки

Частая ошибка — путать делитель и кратное. Делитель делит данное число, а кратное само делится на другое число. Чтобы проверить себя, составь равенство с делением или умножением: 24 : 6 = 4 показывает, что 6 — делитель 24, а 24 — кратное 6.

Иногда считают, что для делимости на 2 подходит любая последняя цифра. На самом деле подходят только 0, 2, 4, 6 и 8, потому что это чётные цифры. Самопроверка проста: назови последнюю цифру и определи, является ли она чётной.

Нельзя проверять делимость на 3 или 9 только по последней цифре. Нужно сложить все цифры числа, иначе можно получить неверный вывод. Например, у числа 372 последняя цифра 2, но признак проверяют по сумме 3 + 7 + 2.

Делимость на 3 не означает автоматически делимость на 9. Сумма цифр может делиться на 3, но не делиться на 9, как сумма 12 в числе 372. Для проверки нужно отдельно выяснить, делится ли сумма цифр именно на 9.

Связь с другими темами

Для изучения признаков делимости нужны состав числа по разрядам, чётные и нечётные числа, а также деление с остатком. Разрядный состав объясняет роль последней цифры, а деление с остатком помогает понять, что значит делиться без остатка. Эти знания связывают вычисления с правилами проверки.

Делители и кратные пригодятся при разложении чисел на множители, а также при поиске общих делителей и общих кратных. Например, чтобы найти общий делитель, сравнивают делители нескольких чисел. Поэтому признаки делимости становятся удобным инструментом в следующих темах.

Что запомнить

• Если число делится на другое без остатка, первое число кратно второму.
• На 2 делятся числа с чётной последней цифрой.
• На 5 делятся числа, оканчивающиеся на 0 или 5.
• На 10 делятся числа, оканчивающиеся на 0.
• На 3 число делится тогда, когда на 3 делится сумма его цифр.
• На 9 число делится тогда, когда на 9 делится сумма его цифр.