"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Разложение на простые множители — это запись составного числа в виде произведения простых чисел. Например, 12 = 2 · 2 · 3: все множители простые, а их произведение равно исходному числу. Чтобы выполнить разложение, число последовательно делят на простые делители и продолжают, пока не останется только простых множителей. Такой способ помогает увидеть, из каких частей «собрано» число, и пригодится при поиске наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Простое число — натуральное число больше 1, которое делится без остатка только на 1 и на само себя. Например, у числа 7 есть два делителя: 1 и 7. Это определение помогает отличать числа, которые дальше раскладывать не нужно, от чисел с несколькими делителями.
Составное число — натуральное число больше 1, у которого есть делители, отличные от 1 и самого числа. Например, 12 делится на 2, 3, 4 и 6, поэтому оно составное. Так называют числа, которые можно представить произведением меньших натуральных чисел.
Простые множители — простые числа, произведение которых равно данному числу. Например, в записи 12 = 2 · 2 · 3 числа 2, 2 и 3 — простые множители. Это название показывает, из каких простых чисел состоит произведение.
Разложение на простые множители — представление составного числа в виде произведения простых чисел. Например, 18 = 2 · 3 · 3 — разложение числа 18. Оно нужно, чтобы удобнее сравнивать числа и находить их общие делители и кратные.
При разложении составное число начинают делить на простые числа, потому что составной множитель сам можно представить произведением меньших чисел. Если остановиться на таком множителе, разложение ещё не будет завершено: в произведении останется число, которое можно разделить дальше. Например, 18 делится на 2, и получается 9, но 9 — составное число. Его тоже нужно разложить: 9 = 3 · 3.
Деление выполняют последовательно: находят простой делитель, делят на него число и рассматривают полученное частное. Частное — это результат деления; если оно составное, его снова делят на простое число. Например, при разложении 18 сначала получаем 18 : 2 = 9, затем 9 : 3 = 3. Теперь множители 2, 3 и 3 все простые, поэтому цепочка делений заканчивается.
Единицу не включают в разложение, хотя она делит любое натуральное число. Причина в определении простого числа: у него должно быть ровно два натуральных делителя, а у единицы только один. Кроме того, умножение на 1 не меняет число, поэтому единица не помогает представить его через простые множители. Разложение строят именно из простых чисел, а не из всех чисел, которые могут быть делителями.
Порядок простых множителей может быть разным, потому что от перестановки множителей произведение не меняется. Например, 2 · 3 · 3 и 3 · 2 · 3 дают одно и то же число — 18. Поэтому такие записи считают одним разложением, если в них совпадает набор множителей. Проверяя ответ, сравнивай сами простые числа и сколько раз каждое из них встречается, а не порядок записи.
| Понятие | Как распознать или получить | Пример |
|---|---|---|
| Простое число | Имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само число | 7 |
| Составное число | Имеет больше двух натуральных делителей | 12 |
| Единица | Имеет только один натуральный делитель; не относится ни к простым, ни к составным числам | 1 |
| Разложение на простые множители | Последовательно делить составное число на простые делители до получения простых множителей | 12 = 2 · 2 · 3 |
Чтобы определить, простое число или составное, посчитай его натуральные делители. Для разложения найди простой делитель и продолжай делить частное, пока все множители не станут простыми. Последняя строка таблицы показывает такой результат для числа 12.
Начнём с наименьшего простого числа — 2: число 18 на него делится. Частное 9 ещё составное, поэтому его нужно разложить дальше. После этого проверим, что все множители простые и их произведение возвращает 18.
Ответ: 18 = 2 · 3 · 3. Проверка: 2 · 3 · 3 = 18.
Начнём с деления на 2, поскольку 84 — чётное число. Полученное частное тоже проверим на делимость, а дальше будем искать простые делители, пока не останутся только простые числа. Так не пропустим составной множитель, который нужно раскладывать дальше.
Ответ: 84 = 2 · 2 · 3 · 7. Проверка: 2 · 2 · 3 · 7 = 4 · 21 = 84.
Число 360 делится на 2, и это удобно использовать первым. После каждого деления проверяем новое частное: например, 45 нельзя оставить в ответе, потому что оно составное. Разложим цепочку до простых множителей, а затем перемножим их для проверки.
Ответ: 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5. Произведение простых множителей равно исходному числу, значит, разложение проверено.
Останавливаются на составном множителе, потому что он уже меньше исходного числа. Но меньший размер не означает, что число простое: например, 9 меньше 18, однако 9 = 3 · 3. Проверь каждый множитель и продолжай деление, пока все они не станут простыми.
Добавляют единицу в разложение, потому что она делит любое число. Однако у 1 только один натуральный делитель, а простому числу нужны ровно два. Чтобы проверить себя, пересчитай множители в ответе: среди них не должно быть единицы.
Записывают полученное частное, не проверив, простое ли оно. Так в разложении может остаться составное число, например 15, которое делится на 3 и 5. Проверь каждый множитель по определению: если у него есть делитель кроме 1 и самого числа, продолжай разложение.
Считают разными разложения с одинаковыми множителями в разном порядке. Например, 2 · 3 · 5 и 5 · 2 · 3 дают один результат, потому что множители можно переставлять. Сравни число каждого простого множителя и количество его повторений, а порядок не учитывай.
Для разложения пригодятся таблица умножения, признаки делимости, а также понятия делителя и кратного. Они помогают быстро увидеть, на какое простое число можно разделить составное число без остатка. Если эти знания уверенно применять, цепочка делений получается короче и в ней меньше ошибок.
Позже разложение на простые множители поможет находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Для этого сравнивают разложения нескольких чисел и используют их общие или необходимые простые множители. Поэтому аккуратная запись разложения станет основой для решения таких задач.
Почему число 1 не считается простым?
У простого числа должно быть ровно два натуральных делителя: 1 и само число. У числа 1 только один делитель — оно само, поэтому единица не простая и не составная.
Как понять, что разложение на простые множители уже закончено?
Проверь каждый множитель: он должен быть простым числом, то есть иметь только два натуральных делителя. Если среди множителей осталось составное число, его нужно разложить дальше.
С какого простого числа удобнее начинать деление?
Обычно начинают с наименьшего простого числа — 2. Если число на 2 не делится, проверяют следующие простые числа: 3, 5, 7 и так далее.
Может ли у одного числа быть несколько разложений на простые множители?
Набор простых множителей у числа один и тот же, если не учитывать их порядок. Например, 2 · 3 · 5 и 5 · 2 · 3 — одно разложение, потому что произведение не меняется от перестановки множителей.
Как проверить, что разложение выполнено правильно?
Перемножь все записанные множители. Если их произведение равно исходному числу, а каждый множитель простое число, разложение выполнено правильно.
Тема 20. Разложение на простые множители
