Математический кружок. Теорема Пика

Определения и обозначения

Узловая точка — точка с целыми координатами, расположенная в узле координатной сетки. Например, точка (2; 3) — узловая, потому что обе её координаты целые. Такие точки удобно считать по клеткам: они отмечают места, где пересекаются линии сетки.

Многоугольник на решётке — многоугольник, все вершины которого являются узловыми точками. Это условие нужно, чтобы применять теорему Пика: она связывает площадь фигуры с количеством узлов внутри и на границе. Если вершина расположена между узлами, условие не выполнено.

Внутренняя узловая точка — узловая точка, лежащая внутри многоугольника; её количество обозначают буквой I. Слово «внутри» означает, что точка не лежит ни на одной стороне и не является вершиной. Число I понадобится в формуле для площади.

Граничная узловая точка — узловая точка на стороне или в вершине многоугольника; число таких точек обозначают буквой B. Вершины тоже считаются, ведь они принадлежат границе. При подсчёте B каждый узел нужно учесть только один раз.

Как это устроено

Теорема Пика работает для многоугольников, вершины которых имеют целочисленные координаты. Это условие не случайно: формула учитывает именно узлы целочисленной решётки, расположение которых связано с границами фигуры. Если вершина окажется между узлами, подсчёт уже не описывает её границу нужным образом, поэтому формулу применять нельзя.

Чтобы найти B, пройди по всей границе и сосчитай узлы на каждой стороне, включая вершины. Но при переходе к следующей стороне не считай общую вершину второй раз: она уже была учтена. Можно также сложить числа точек на сторонах, а затем вычесть число вершин, поскольку при таком сложении каждая вершина появляется дважды.

Для I считай только узлы, которые находятся строго внутри многоугольника. Узел на стороне не становится внутренним даже тогда, когда он расположен не в вершине. Такое разделение нужно потому, что формула по-разному учитывает внутренние и граничные точки: если смешать их, одни и те же узлы получат неверный вклад.

Теорема Пика связывает площадь с двумя подсчётами: S = I + B/2 − 1. Внутренние точки входят в сумму целиком, а от граничных берётся половина; после этого вычитается единица. Половина B появляется потому, что граница влияет на площадь иначе, чем точки внутри, а вычитание единицы делает равенство точным для многоугольников на решётке.

На наклонной стороне узлы могут располагаться не в каждой клетке, поэтому нельзя просто считать её длину в клетках. Если разности координат концов отрезка равны, например, 4 и 2, то промежутков между узлами будет 2: через каждые два шага по одной координате получается целочисленный шаг по другой. В общем случае число таких промежутков равно наибольшему общему делителю разностей координат, а число узлов на отрезке на один больше; при подсчёте всего B общие вершины всё равно учитывают один раз.

Величины в теореме Пика

Сначала определи, какие величины известны, а затем аккуратно найди I и B. Подставляй их в формулу, не меняя порядок действий: сначала возьми половину B, затем прибавь I и вычти 1. Если ищешь не площадь, перенеси остальные части равенства так, чтобы неизвестная величина осталась одна.

Разбор задач

Прямоугольник на решётке имеет стороны 3 и 2. Найдите число внутренних и граничных узловых точек и проверьте формулу Пика.

1. Площадь прямоугольника равна 3 · 2 = 6. Это можно проверить подсчётом единичных клеток внутри него.
2. На границе расположены по три узла на каждой из двух длинных сторон и по два на каждой короткой, если пока считать оба конца каждой стороны. Получаем 3 + 3 + 2 + 2 = 10 точек после однократного подсчёта: угловые вершины не должны повторяться. Значит, B = 10.
3. Внутри прямоугольника стоят два узла: между его длинными сторонами один ряд, а между крайними вертикалями — два внутренних столбца. Следовательно, I = 2.
4. Проверим теорему: I + B/2 − 1 = 2 + 10/2 − 1 = 6. Результат совпал с площадью.

Ответ: I = 2, B = 10, площадь равна 6 квадратным единицам.

Найдите площадь треугольника с вершинами (0; 0), (4; 0) и (0; 3), используя теорему Пика.

1. На горизонтальной стороне длиной 4 расположены 5 узлов, на вертикальной длиной 3 — 4 узла. На наклонной стороне между концами нет промежуточного узла: изменения координат равны 4 и 3, у них нет общего делителя больше 1.
2. Если сложить числа узлов на трёх сторонах, вершины окажутся посчитаны дважды. Поэтому B = 5 + 4 + 2 − 3 = 8: на наклонной стороне только две вершины, а три общие вершины вычитаем по одному разу.
3. Внутри треугольника расположены три узла: (1; 1), (2; 1) и (1; 2). Значит, I = 3.
4. По теореме Пика S = 3 + 8/2 − 1 = 6. Для проверки можно использовать обычную формулу площади прямоугольного треугольника: 4 · 3/2 = 6.

Ответ: площадь треугольника равна 6 квадратным единицам.

Треугольник имеет вершины (0; 0), (6; 0) и (2; 4). Найдите его площадь по теореме Пика.

1. На горизонтальной стороне с концами (0; 0) и (6; 0) находится 7 узлов. На стороне от (6; 0) до (2; 4) координаты меняются на 4 и 4, поэтому есть 4 промежутка и 5 узлов. На стороне от (2; 4) до (0; 0) изменения равны 2 и 4: два промежутка и 3 узла.
2. Складываем числа узлов на сторонах и вычитаем три вершины, которые иначе посчитались бы дважды: B = 7 + 5 + 3 − 3 = 12.
3. Внутри треугольника находятся узлы (1; 1), (2; 1), (3; 1), (2; 2), (3; 2), (4; 2), (3; 3). Значит, I = 7.
4. Подставляем найденные числа: S = 7 + 12/2 − 1 = 12. Здесь подсчёт узлов заменил измерение сторон и помог найти площадь.

Ответ: 12 квадратных единиц.

Типичные ошибки

Применяют теорему к фигуре с вершиной не в узле. Так бывает, когда ученик замечает клетчатый фон, но не проверяет координаты каждой вершины. Формула Пика требует, чтобы все вершины имели целые координаты. Перед подсчётом проверь, попадает ли каждая вершина в узел решётки.

Считают вершины несколько раз. При сложении числа точек на отдельных сторонах общая вершина попадает в подсчёт двух соседних сторон. Это происходит, если идти по сторонам независимо и не отмечать уже посчитанные точки. Проверь, что в итоговом B каждая граничная точка, в том числе каждая вершина, учтена ровно один раз.

Включают граничные узлы в число внутренних. Узел на стороне может выглядеть почти внутренним, особенно на наклонной границе. Но I означает только точки строго внутри фигуры, а все точки на сторонах и в вершинах относятся к B. Проведи границу внимательно: ни один узел не должен одновременно попасть в I и B.

Забывают разделить B на 2 или вычесть 1. В формуле легко оставить только сложение внутренних и граничных узлов. Тогда площадь получается неверной, потому что граница учитывается половиной своего числа, а в конце нужно вычесть единицу. Сверь подстановку с записью S = I + B/2 − 1 и, если можно, сравни ответ с подсчётом клеток.

Связь с другими темами

Перед задачами на теорему Пика полезно уметь находить площадь прямоугольника и треугольника, а также считать клетки на координатной сетке. Эти навыки помогают проверить ответ, полученный по узлам. Теорема соединяет геометрию с координатами и целыми числами: по расположению точек можно найти площадь, а по площади — количество узлов. Позже подсчёт точек на решётке пригодится в задачах по координатной геометрии и в более сложных задачах на площадь.

Что запомнить

• Теорема Пика относится к многоугольникам с узловыми вершинами.
• I — число узловых точек строго внутри многоугольника.
• B — число узловых точек на границе, включая вершины.
• Каждую граничную точку считают один раз.
• Площадь вычисляют по формуле S = I + B/2 − 1.
• В формуле половина числа граничных точек, а не половина числа внутренних.