"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Объём показывает, сколько места занимает тело. Его измеряют кубическими единицами: например, кубическими сантиметрами, дециметрами или метрами. Чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, перемножают длину, ширину и высоту, а для куба умножают длину ребра саму на себя три раза. Все измерения перед вычислением выражают в одинаковых единицах. Если тело состоит из частей, объём целого находят сложением объёмов этих частей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём — величина, показывающая, сколько места занимает тело; его обозначают буквой V. Например, объём коробки помогает понять, сколько предметов в неё поместится. Объём не описывает только поверхность: у тела учитывают место внутри него. Результат измерения записывают в кубических единицах.
Единичный куб — куб, ребро которого принято за единицу длины, а его объём считают единицей объёма. Ребро — отрезок, по которому встречаются две грани куба. Если за единицу длины взять сантиметр, то единичный куб будет иметь ребро 1 см. Такие кубики помогают представить и подсчитать объём других тел.
Кубический сантиметр — объём куба с ребром 1 см; его обозначают см³. Верхняя цифра 3 показывает, что единица длины используется в трёх измерениях: длине, ширине и высоте. Например, в коробке объёмом 12 см³ поместилось бы 12 кубиков с ребром 1 см. Запись см² для объёма не подходит: она относится к площади.
Прямоугольный параллелепипед — тело с шестью прямоугольными гранями; его измерения называют длиной, шириной и высотой. Грань — плоская сторона тела, а измерения показывают размеры в трёх направлениях. Они могут быть разными, поэтому для вычисления объёма нужны все три. Коробка или кирпич по форме часто напоминают такой параллелепипед.
Объём измеряют кубическими единицами, потому что трёхмерное тело можно заполнять маленькими кубами без промежутков и наложений. Каждый такой куб занимает одинаковое место, поэтому достаточно сосчитать их количество. Если ребро кубика равно 1 см, подсчёт даст объём в кубических сантиметрах. Для больших тел удобнее брать кубики с ребром 1 дм или 1 м.
Представь прямоугольный параллелепипед, сложенный из одинаковых кубиков. В одном слое вдоль одной стороны помещается a кубиков, а вдоль другой — b, поэтому в слое их a · b. Слоёв по высоте будет c, значит, всего кубиков окажется a · b · c. Поэтому объём находят по формуле V = a · b · c, где a, b и c — длина, ширина и высота.
У куба все рёбра одинаковой длины, поэтому длина, ширина и высота у него равны. В формуле параллелепипеда вместо каждого измерения можно записать a: V = a · a · a. Произведение трёх одинаковых множителей записывают короче как a³ и называют третьей степенью числа a. Например, если ребро куба 2 см, то его объём равен 2 · 2 · 2 = 8 см³.
При переводе единиц объёма нельзя использовать тот же коэффициент, что и для длины. Например, 1 дм равен 10 см, но в кубе каждое из трёх измерений изменяется в 10 раз. Поэтому 1 дм³ = 10 · 10 · 10 см³ = 1000 см³. Аналогично 1 м³ = 1000 дм³; при переходе между соседними единицами объёма число меняется в 1000 раз.
Если тело можно разделить на несколько непересекающихся частей, кубики этих частей не занимают одно и то же место. Значит, чтобы узнать число кубиков во всём теле, нужно сложить их количество в каждой части. Это же правило действует для объёмов: объём целого равен сумме объёмов частей. Разделение удобно, когда тело сложной формы нельзя сразу представить одним прямоугольным параллелепипедом.
| Объект или единица | Обозначение | Формула или равенство | Что важно помнить |
|---|---|---|---|
| Объём тела | V | Число единичных кубов | Показывает, сколько места занимает тело |
| Единичный куб | Зависит от выбранной единицы длины | Ребро принято за единицу длины | Его объём считают единицей объёма |
| Кубический сантиметр | см³ | 1 см³ — объём куба с ребром 1 см | Единица объёма, а не площади |
| Кубический дециметр | дм³ | 1 дм³ = 1000 см³ | В 1 дм³ помещается 1000 кубиков по 1 см³ |
| Кубический метр | м³ | 1 м³ = 1000 дм³ | Основная единица объёма |
| Прямоугольный параллелепипед | a, b, c | V = a · b · c | Нужны три измерения в одинаковых единицах |
| Куб | a | V = a · a · a = a³ | Все три измерения равны |
Сначала выбери единицу, в которой удобно выразить ответ, и проверь, что все измерения записаны в ней. Формула параллелепипеда подходит и для коробок, и для других тел такой формы. Для куба можно пользоваться той же формулой, подставив одно и то же число три раза.
Задача 1. Сколько кубиков с ребром 1 см можно уложить в коробку длиной 4 см, шириной 3 см и высотой 2 см? Размеры даны в сантиметрах, поэтому единицу менять не нужно. Каждый кубик имеет объём 1 см³, а число кубиков совпадает с объёмом коробки в этих единицах.
Ответ: 24 кубика с ребром 1 см.
Задача 2. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 2 дм, 5 дм и 30 см. Ответ выразите в кубических дециметрах. В формуле нельзя сразу перемножать числа, потому что одно измерение дано в сантиметрах, а два других — в дециметрах. Переведём 30 см в дециметры: 30 см = 3 дм.
Ответ: 30 дм³.
Задача 3. Фигура составлена из двух непересекающихся прямоугольных параллелепипедов объёмом 120 см³ и 85 см³. Нужно найти объём всей фигуры. Части не перекрываются, значит, объём одной не включает объём другой. Поэтому можно сложить их объёмы, не опасаясь посчитать одну и ту же часть дважды.
Ответ: 205 см³.
Можно по ошибке записать объём в квадратных единицах, например в см², потому что площадь тоже считают умножением. Площадь относится к плоской поверхности, а тело заполняет три измерения, поэтому объём записывают в кубических единицах. Проверь ответ: у единицы объёма должна быть верхняя цифра 3, например см³. Если получились квадратные единицы, проверь, не перепутана ли площадь с объёмом.
Нельзя перемножать числа, если длина, ширина и высота даны в разных единицах. Эту ошибку допускают, когда используют формулу, не проверив записи в условии. Сначала переведи все измерения, например сантиметры в дециметры, и только потом умножай. Для проверки проследи, чтобы у всех трёх измерений была одна и та же единица длины.
При переводе кубических единиц ошибочно умножать или делить только на 10. Так делают, перенося правило перевода длины на объём без учёта трёх измерений. Если соседние единицы длины отличаются в 10 раз, единицы объёма отличаются в 10³ = 1000 раз. Проверь перевод на примере: 1 дм³ должен равняться 1000 см³, а не 10 см³.
Иногда в формулу подставляют только длину и ширину, забывая высоту. Тогда получается площадь основания, а не объём, потому что не учтено, сколько слоёв помещается над основанием. Для прямоугольного параллелепипеда нужно перемножить a, b и c. Перед вычислением назови вслух все три измерения и убедись, что каждое вошло в произведение.
Для вычисления объёма нужны знания об единицах длины, их переводе и умножении натуральных чисел. Нахождение площади прямоугольника помогает понять, сколько кубиков помещается в одном слое. Объём можно вычислить и через площадь основания: V = S основания · h, где h — высота тела. Эти знания пригодятся при расчёте вместимости коробок, помещений и сосудов, а также при изучении других тел.
Почему объём измеряют именно в кубических единицах?
Тело можно мысленно заполнить одинаковыми кубиками, у которых ребро равно выбранной единице длины. Объём показывает, сколько таких кубиков поместится внутри. Поэтому единицы объёма называют кубическими: см³, дм³, м³.
Чем объём отличается от площади?
Площадь показывает размер плоской поверхности и измеряется квадратными единицами, например см². Объём показывает, сколько места занимает тело, и измеряется кубическими единицами. Для объёма учитывают три измерения тела, а не только длину и ширину.
Как не ошибиться при переводе см³ в дм³ или м³?
Сначала вспомни, во сколько раз отличаются единицы длины, а затем возведи этот коэффициент в третью степень. Например, 1 дм = 10 см, значит, 1 дм³ = 10 · 10 · 10 = 1000 см³. При переводе в меньшие единицы число увеличивается, а в большие — уменьшается.
Можно ли найти объём, если известны только длина и ширина?
Обычно нет: для объёма прямоугольного параллелепипеда нужны длина, ширина и высота. Если известна только площадь основания, всё равно понадобится высота. Без третьего измерения можно найти площадь основания, но не объём.
Как найти объём фигуры, составленной из нескольких частей?
Раздели фигуру на простые тела, объёмы которых можно вычислить. Если части не перекрываются, сложи их объёмы. Если тело разделено на части с известными объёмами, сумма даст объём целого.
Тема 31. Объём
