Тема 22. Равенство обыкновенных дробей

Определения и обозначения

Равные обыкновенные дроби — дроби с разными или одинаковыми числителями и знаменателями, которые обозначают одно и то же число. Например, ½ и 2⁄4 равны, хотя записаны по-разному. Это понятие нужно, чтобы заменять дробь другой, более удобной для вычислений.

Основное свойство дроби — если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, не равное нулю, значение дроби не изменится. Числитель показывает количество взятых частей, а знаменатель — на сколько равных частей разделили целое. Свойство объясняет, почему дробь можно преобразовывать без изменения её значения.

Расширение дроби — умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число. Например, при расширении 2⁄5 на 3 получается 6⁄15. Этот приём помогает получить нужный знаменатель, например при подготовке к сложению дробей.

Сокращение дроби — деление числителя и знаменателя на их общий делитель, не равный нулю. Так из 12⁄18 после деления на 6 получается 2⁄3. Сокращение делает запись короче, но сохраняет то же значение дроби.

Как это устроено

Представим плитку шоколада, разделённую на 2 равные части, и возьмём 1 часть: это ½ плитки. Если каждую половину разделить ещё на 2, вся плитка будет состоять из 4 частей, а взятая половина — из 2 частей, то есть получится 2⁄4. Количество шоколада не изменилось, поэтому ½ = 2⁄4.

При умножении числителя и знаменателя на одно число количество взятых частей и общее количество частей увеличиваются во столько же раз. Например, в дроби 2⁄5 умножение на 3 превращает 2 взятые части в 6, а 5 частей целого — в 15. Доля целого остаётся прежней, поэтому 2⁄5 = 6⁄15.

Деление числителя и знаменателя на общий делитель выполняет обратное действие. В дроби 12⁄18 можно объединить части в группы по 6: 12 взятых частей превращаются в 2 группы, а 18 частей целого — в 3 группы. Поэтому 12⁄18 = 2⁄3, и размер доли не меняется.

Равные дроби можно получать расширением или сокращением. Например, цепочка 1⁄3 = 2⁄6 = 4⁄12 получается расширением, а цепочка 12⁄18 = 6⁄9 = 2⁄3 — сокращением. Чтобы проверить равенство дробей, удобно привести их к общему знаменателю и сравнить числители: если числители одинаковы, дроби равны.

Как получать дроби, равные данной

Пользуйся таблицей как алгоритмом: сначала реши, нужно ли получить больший знаменатель или, наоборот, упростить запись. При любом преобразовании одно и то же число применяй и к числителю, и к знаменателю. Если дроби уже имеют общий знаменатель, для проверки достаточно сравнить их числители.

Разбор задач

Задача 1. Запишите дробь, равную 2⁄5, с числителем 6

Нужно изменить числитель 2 так, чтобы получить 6. Число 6 в 3 раза больше 2, значит, дробь надо расширить на 3. Знаменатель тоже увеличиваем в 3 раза, иначе значение дроби изменится.

1. Находим множитель: 6 : 2 = 3.
2. Умножаем знаменатель на тот же множитель: 5 · 3 = 15.
3. Записываем равенство: 2⁄5 = 6⁄15.

Ответ: 6⁄15. Проверка показывает, что числитель и знаменатель исходной дроби умножены на одно и то же число 3.

Задача 2. Сократите дробь 12⁄18

Для сокращения нужно найти общий делитель чисел 12 и 18. Подойдёт число 6, потому что оба числа делятся на него без остатка. Делим на 6 и числитель, и знаменатель.

1. Находим общий делитель: 12 и 18 делятся на 6.
2. Делим числитель: 12 : 6 = 2.
3. Делим знаменатель: 18 : 6 = 3.
4. Получаем равенство: 12⁄18 = 2⁄3.

Ответ: 2⁄3. Дробь 2⁄3 уже нельзя сократить на число, большее 1, потому что у 2 и 3 нет общего делителя, кроме 1.

Задача 3. Равны ли дроби 3⁄4 и 9⁄12?

Знаменатели 4 и 12 разные, поэтому приведём первую дробь к знаменателю 12. Число 12 больше 4 в 3 раза, значит, 3⁄4 нужно расширить на 3. После этого сравним числители получившихся дробей.

1. Находим множитель: 12 : 4 = 3.
2. Расширяем первую дробь: 3⁄4 = 9⁄12.
3. Сравниваем: 9⁄12 = 9⁄12.

Ответ: дроби равны. Они обозначают одно и то же число, хотя сначала имели разные знаменатели.

Типичные ошибки

Первая ошибка — умножить или разделить только числитель либо только знаменатель. Например, превращение 2⁄5 в 6⁄5 не сохраняет дробь, потому что изменилось только верхнее число. Проверяй, выполнено ли одинаковое действие с обеими частями дроби.

Вторая ошибка — использовать разные числа для числителя и знаменателя. Запись 2⁄5 = 6⁄10 неверна, потому что числитель умножили на 3, а знаменатель — на 2. Перед вычислением назови общий множитель и примени его дважды.

Третья ошибка — сокращать на число, которое не делит оба числа без остатка. Например, 10⁄15 нельзя сократить на 4, ведь ни 10, ни 15 не делятся на 4 нацело. Выполни деление заранее и проверь остаток.

Четвёртая ошибка — считать дроби равными из-за похожих числителей или знаменателей. Дроби 2⁄5 и 2⁄7 имеют одинаковые числители, но обозначают разные числа. Приведи их к общему знаменателю или сравни значения по правилу.

Связь с другими темами

До изучения равенства дробей нужно понимать, что показывает числитель, что показывает знаменатель и как записывают обыкновенную дробь. Без этого трудно представить, почему изменение количества частей может сохранить ту же долю целого. Полезно также уверенно выполнять умножение и деление натуральных чисел.

Равные дроби нужны при сравнении и упорядочивании дробей. Они особенно важны при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями: сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем работают с числителями.

Что запомнить

• Равные дроби обозначают одно и то же число.
• При умножении числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число дробь не меняется.
• При делении числителя и знаменателя на их общий делитель дробь не меняется.
• Расширение дроби помогает получить другой знаменатель.
• Сокращение дроби упрощает её запись.
• Чтобы проверить равенство дробей, их можно привести к общему знаменателю.