"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И.
Десятичные дроби помогают записывать части единицы так же удобно, как целые числа: запятая отделяет целую часть от дробной, а цифры после неё показывают десятые, сотые, тысячные и более мелкие доли. Эти записи используют в измерениях, вычислениях и при работе с процентами. Чтобы уверенно решать примеры, нужно понимать разряды цифр, уметь сравнивать дроби и правильно располагать запятые при вычислениях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Десятичная дробь — число, записанное с помощью запятой. Запятая отделяет целую часть от дробной, а цифры после неё показывают доли единицы: например, 0,3 — это три десятых. Такая запись удобна, потому что позволяет соединить целое число и его часть в одном числе. Десятичные дроби встречаются, например, при записи длины, массы и цены.
Разряд десятичной дроби — место цифры после запятой, которое показывает, какую долю единицы она обозначает. Первая цифра после запятой относится к десятым, вторая — к сотым, третья — к тысячным. Например, в числе 2,47 цифра 4 означает четыре десятых, а цифра 7 — семь сотых. Знание разрядов помогает правильно читать число, сравнивать его и выполнять вычисления.
Обыкновенная дробь, равная данной десятичной дроби, — это запись той же доли в виде дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Например, 0,27 = 27/100, потому что после запятой стоят две цифры, а 100 — это единица с двумя нулями. Такая запись показывает, сколько частей единицы взято и на сколько равных частей она разделена. По ней удобно связывать десятичные дроби с уже знакомыми обыкновенными.
Значение цифры зависит от её места: одна и та же цифра 5 может означать пять десятых, пять сотых или пять тысячных. Читай число слева направо: сначала целую часть, затем дробную, называя её доли. Например, 4,26 — это четыре целых и двадцать шесть сотых. Такое чтение показывает, какую именно часть единицы описывает запись.
Чтобы превратить десятичную дробь в обыкновенную, посчитай цифры после запятой. Запиши все цифры числа без запятой в числитель, а в знаменатель поставь 1 с таким же количеством нулей, сколько было цифр после запятой: 0,35 = 35/100. Причина в том, что запись с двумя дробными разрядами считает сотые доли. Если дробь можно сократить, это не меняет её значения.
Сравнивай десятичные дроби по разрядам, потому что цифры в разных разрядах обозначают разные доли. Сначала сравни целые части; если они равны, сравни десятые, потом сотые и далее. Можно дописать нули справа: 0,8 = 0,80, ведь восемь десятых — это восемьдесят сотых. После этого удобнее сравнивать одинаковые разряды, не принимая длину записи за величину числа.
При сложении и вычитании поставь числа друг под другом так, чтобы запятые оказались на одной вертикали. Тогда под десятыми будут десятые, под сотыми — сотые, и вычисление не смешает разные доли. Если в одном числе меньше знаков после запятой, допиши справа нули. Считай по разрядам, а запятую в ответе поставь под запятыми исходных чисел.
Умножение на 10, 100 и 1000 увеличивает число соответственно в 10, 100 и 1000 раз, поэтому запятая перемещается вправо на 1, 2 или 3 знака; при делении на эти числа она перемещается влево. Если нужных цифр не хватает, добавляй нули. После вычислений оцени порядок величины: округли числа и прикинь ответ. Такая проверка помогает заметить случайный сдвиг запятой или неверное вычисление.
| Действие или запись | Правило | Что проверить |
|---|---|---|
| Чтение и разрядный состав | Цифры после запятой обозначают десятые, сотые, тысячные и следующие доли. | Верно ли определено место каждой цифры. |
| Запись в виде обыкновенной дроби | В числителе запиши число без запятой, в знаменателе — 1 и столько нулей, сколько дробных знаков. | Совпадает ли число нулей в знаменателе с количеством знаков после запятой. |
| Сравнение | Сначала сравни целые части, затем дробные разряды слева направо. | Сравниваются ли цифры одного разряда. |
| Сложение и вычитание | Расположи числа так, чтобы запятые стояли одна под другой. | Совмещены ли разряды; не забыты ли нули. |
| Умножение и деление на 10, 100, 1000 | Сдвинь запятую на 1, 2 или 3 знака соответственно. | В нужную ли сторону сдвинута запятая. |
Сначала найди в таблице нужное действие, затем прочитай правило до вычисления. После решения используй последний столбец как короткий список для самопроверки. Если проверка не проходит, вернись к записи разрядов.
У числа 3,407 одна цифра до запятой и три после неё. Значит, после целой части идут десятые, сотые и тысячные. Цифра 0 в разряде сотых тоже учитывается: она показывает, что сотых в числе нет. При записи обыкновенной дробью знаменатель будет 1000, потому что дробная часть содержит три цифры.
Ответ: 3,407 = 3 + 0,4 + 0,007 = 3407/1000. По разрядной записи видно, почему цифра 7 обозначает именно тысячные, а не сотые.
Целые части чисел одинаковые — в обоих случаях это 5. Поэтому нужно сравнить дробные части, начиная с десятых. Чтобы сравнение было наглядным, запишем одинаковое количество знаков после запятой: 5,8 = 5,80. Ноль справа не меняет значения числа, но помогает увидеть сотые в обоих записях.
Ответ: 5,08 < 5,8. Дробная часть 0,08 меньше, чем 0,8, потому что 8 сотых меньше 8 десятых.
Здесь есть вычитание и сложение, поэтому удобнее сначала найти разность, а затем прибавить третье число. Перед вычислением выровняем записи по запятой: 12,5 запишем как 12,500, а 3,78 — как 3,780. Нули добавляют недостающие разряды и не меняют значения чисел. После вычисления оценим ответ: разность будет немного меньше 9, а прибавление примерно 0,4 даст результат около 9.
Ответ: 9,126. Совмещённые запятые обеспечили правильное сложение единиц, десятых, сотых и тысячных. Оценка величины подтверждает, что запятая не сдвинута случайно.
Сравнивать дробные части как целые числа. Например, можно ошибочно решить, что 0,08 больше 0,8, потому что в первой записи есть цифра 8. Так происходит, если забыть, что 8 стоит в разряде сотых, а в 0,8 — в разряде десятых. Запиши 0,8 как 0,80 и сравни одинаковые разряды: 0,08 < 0,80.
Сдвигать запятую при сложении или вычитании. Если поставить цифры друг под другом, не совмещая запятые, рядом окажутся разные доли единицы. Это часто происходит при вычислении столбиком, когда ориентируются на край числа, а не на разряд. Проверь вертикаль запятых: они должны находиться одна под другой, а единицы — под единицами.
Считать ноль справа после запятой изменением числа. Ноль может казаться дополнительной долей, хотя 0,5 и 0,50 обозначают одну и ту же величину. Дописывать или убирать конечные нули справа можно потому, что они не добавляют новых ненулевых долей. Для проверки сравни запись с обыкновенными дробями: 5/10 = 50/100.
Выбирать знаменатель обыкновенной дроби не по числу знаков. Например, у 0,347 после запятой три цифры, значит, дробная часть выражена в тысячных. Если поставить знаменатель 100, получится другая величина. Пересчитай цифры после запятой и запиши в знаменателе 1 с таким же количеством нулей: 0,347 = 347/1000.
Для понимания десятичных дробей нужны знания о разрядах натуральных чисел и о том, как единица делится на 10, 100 и 1000. Полезно также уметь читать обыкновенные дроби: десятые и сотые показывают, на сколько равных частей разделили единицу. Позже десятичная запись пригодится при измерении величин, вычислениях с дробями и изучении процентов. Поэтому умение видеть разряды помогает связывать математику с практическими задачами.
Почему 0,5 и 0,50 — одно и то же число?
В числе 0,5 цифра 5 показывает пять десятых. В числе 0,50 это пятьдесят сотых, а пятьдесят сотых равны пяти десятым. Поэтому ноль справа после запятой можно дописать или убрать без изменения числа.
Как понять, какая цифра стоит в разряде сотых?
Считай цифры после запятой слева направо: первая показывает десятые, вторая — сотые. Например, в числе 3,407 в разряде сотых стоит 0. Разряд определяется местом цифры, а не её значением.
Почему 0,4 больше, чем 0,35?
Запишем 0,4 как 0,40, чтобы у чисел было одинаковое количество знаков после запятой. Теперь сравним сотые: 40 сотых больше 35 сотых. Значит, 0,4 > 0,35.
Как правильно записать десятичные дроби столбиком?
Записывай числа так, чтобы запятые оказались одна под другой. Если дробные части разной длины, допиши справа нули: например, 2,5 можно записать как 2,50. Затем выполняй вычисление по разрядам.
Как проверить, не ошибся ли я при вычислении?
Сначала оцени примерный размер ответа, округлив числа до удобных. Затем сравни результат с исходными числами: например, сумма должна быть больше каждого слагаемого. При вычитании результат не должен быть больше уменьшаемого, если вычитаем неотрицательное число.
З Задания к теме 22
