Тема 27. Циркуль и линейка

Определения и обозначения

Циркуль — инструмент, которым проводят окружности и переносят расстояния. У него есть две ножки: на одной находится игла, на другой — пишущий наконечник. Расстояние между ножками можно менять и сохранять. Это помогает чертить линии с заданным радиусом и переносить длины без измерения линейкой.

Линейка — инструмент для проведения прямых и отрезков. Если на ней нет делений, ею можно совместить две точки и провести через них прямую или часть прямой. Измерить длину по такой линейке нельзя, зато можно точно соединять отмеченные точки. Линейка нужна, когда в построении требуется ровная линия.

Окружность — линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом. Окружность не включает область внутри себя: вместе с этой областью она образует круг. Такое различие помогает точно понимать, какую фигуру нужно построить.

Геометрическое построение — получение чертежа с помощью заданных инструментов по определённым шагам. В описании указывают, что провести, где поставить иглу циркуля и какие длины использовать. Чёткий порядок действий позволяет повторить построение и проверить результат. Так геометрическую задачу решают не приблизительным рисунком, а точными действиями.

Как это устроено

Чтобы провести окружность, сначала выбирают её центр — точку, вокруг которой будет расположена линия. В эту точку ставят иглу циркуля, чтобы инструмент не сдвигался при черчении. Раскрытие ножек определяет радиус: чем оно больше, тем дальше окружность от центра. Поскольку ножки сохраняют одно и то же расстояние, карандаш проходит линию с постоянным радиусом.

Циркулем удобно переносить длину отрезка, потому что расстояние между его ножками можно зафиксировать. Одну ножку ставят на один конец отрезка, другую — на второй, и циркуль раскрывается ровно на нужную длину. Если затем не менять раскрытие, между ножками останется то же расстояние. Поэтому циркуль позволяет отложить длину в другом месте, даже если на линейке нет делений.

Чтобы провести прямую через точки A и B, край линейки совмещают сразу с обеими точками и проводят линию. Нужны обе точки: одна точка не задаёт направление, и через неё можно провести прямые по-разному. Две разные точки задают единственное направление прямой. Перед черчением полезно проверить, что край линейки действительно проходит через обе отметки.

Линейка и циркуль дополняют друг друга: линейка отвечает за ровные прямые, а циркуль — за постоянные расстояния и окружности. При рисовании от руки линия может отклониться, а радиус — получиться неодинаковым. Инструменты помогают избежать таких неточностей, если правильно поставить их и не сдвигать во время действия. Поэтому построенный чертёж можно проверить по точкам, длинам и пересечениям.

Порядок построения записывают отдельными понятными шагами. В каждом шаге называют действие и указывают нужные точки, например: «провести отрезок AB» или «построить окружность с центром A». Такой записи недостаточно, если не сообщить, какой радиус нужен или где находится центр. Точные указания позволяют другому человеку повторить построение и получить такой же чертёж.

Инструменты и их возможности при построении

В таблице можно найти, какой инструмент подходит для нужного действия и что при этом необходимо задать. Обрати внимание: для окружности требуются и центр, и радиус, а для прямой — две точки. Перед построением проверь, что инструмент сохраняет именно нужное расстояние или положение.

Разбор задач

Задача 1. Провести прямую через две отмеченные на листе точки A и B. Здесь не нужно измерять длину: требуется получить линию, которая проходит через обе точки. Поэтому достаточно линейки, но её положение важно проверить до того, как проводить линию. Если край не касается одной из отметок, прямая получится неверной.

1. Положи линейку так, чтобы её край проходил через точку A.
2. Поверни линейку и совмести тот же край с точкой B.
3. Удерживая линейку, проведи линию вдоль её края через обе точки.

Ответ: прямая проведена через точки A и B. Если нужна только часть этой прямой между точками, её называют отрезком AB. Проверь результат: обе отметки должны лежать на проведённой линии.

Задача 2. Построить окружность с центром O и радиусом, равным заданному отрезку AB. Радиус уже задан не числом, а длиной отрезка, поэтому сначала нужно перенести её циркулем. Затем точку O используют как центр, а сохранённое раскрытие — как радиус. Так окружность будет соответствовать обоим условиям задачи.

1. Поставь иглу циркуля в A, а карандашный наконечник — в B.
2. Проверь, что ножки стоят на концах отрезка, и не меняй раскрытие.
3. Перенеси иглу в O и, удерживая её на месте, поверни циркуль до замыкания линии.

Ответ: построена окружность с центром O и радиусом AB. Её точки находятся на расстоянии AB от точки O. Не раздвигай и не сдвигай ножки, пока чертишь: иначе радиус изменится.

Задача 3. Построить треугольник ABC, если заданы длины всех трёх сторон: AB, AC и BC. Отрезок AB удобно взять за основание, а положение точки C определить пересечением двух окружностей. Первая окружность содержит все точки на расстоянии AC от A, вторая — все точки на расстоянии BC от B. Их общая точка подходит сразу для обеих оставшихся сторон.

1. Проведи отрезок AB заданной длины.
2. Построй окружность с центром A и радиусом, равным AC.
3. Построй окружность с центром B и радиусом, равным BC.
4. Обозначь точку пересечения окружностей через C, затем проведи отрезки AC и BC.

Ответ: получен треугольник ABC с заданными сторонами. Проверь построение: AB должно иметь первую заданную длину, а расстояния от C до A и B — две остальные. Если окружности не пересекаются, построить такой треугольник с указанными длинами нельзя.

Типичные ошибки

Называть окружностью круг — значит смешивать границу и всю область внутри неё. Так ошибаются, потому что в обычной речи эти слова иногда употребляют как похожие. Проверь себя: окружность можно провести одной линией, а круг содержит ещё и точки внутри. В задаче уточняй, какую из этих фигур требуется построить.

Считать, что окружность задаётся только радиусом, недостаточно: нужно указать и центр. Такая ошибка возникает, если помнить о раскрытии циркуля, но забыть, куда поставить иглу. Проверь условие: для построения должны быть известны обе величины. Один и тот же радиус можно использовать для окружностей с разными центрами.

Если при переносе длины изменить раскрытие циркуля, расстояние между ножками станет другим. Это происходит, когда инструмент случайно сдвигают или раскрывают заново, не сравнив с исходным отрезком. Проверь, что ножки по-прежнему совпадают с его концами до переноса. После этого не меняй раскрытие, пока не отложишь длину.

Прямая, проведённая без проверки положения линейки, может пройти через одну заданную точку, но не через другую. Обычно торопятся и начинают чертить, едва совместив край с первой отметкой. До проведения линии проверь одновременно обе точки. Если край не касается их обеих, поправь линейку.

Связь с другими темами

Для построений полезно уметь распознавать точку, прямую, отрезок и окружность, а также измерять длины отрезков. Эти знания помогают понимать условие задачи и выбирать подходящий инструмент. Например, измерение даёт длину, а циркуль позволяет перенести её на чертёж. Точные обозначения точек делают описание действий понятным.

Циркуль и линейка пригодятся при изучении треугольников, их сторон и расстояний между точками. С их помощью можно строить фигуры по заданным длинам и проверять, как расположены вершины. Это помогает увидеть связь между длинами сторон и формой треугольника. Навык записывать шаги построения пригодится и в других геометрических задачах.

Что запомнить

• Линейкой проводят прямые и отрезки.
• Циркулем проводят окружности и переносят длины.
• Радиус — расстояние от центра окружности до любой её точки.
• Раскрытие циркуля определяет радиус окружности.
• Прямая через две точки определяется этими точками.
• Порядок шагов построения нужно описывать точно.