Тема 28. Симметрия

Определения и обозначения

Симметрия — соответствие частей фигуры, при котором они одинаково расположены относительно оси или точки. Проще говоря, части фигуры повторяют друг друга по определённому правилу. Это понятие помогает описывать форму фигур и находить в них повторяющиеся части.

Ось симметрии — прямая, относительно которой части фигуры являются зеркальными отражениями друг друга. Если мысленно сложить фигуру по этой прямой, её части должны совпасть. Ось нужна, чтобы проверять симметрию и строить зеркальную копию точки.

Симметричные фигуры — фигуры, которые совмещаются при отражении относительно оси или точки. Совпасть должны все части и точки фигуры, а не только её отдельные стороны. Это определение позволяет отличить настоящую симметрию от простого сходства формы.

Центр симметрии — точка, относительно которой каждой точке фигуры соответствует точка на таком же расстоянии с противоположной стороны. Центр находится посередине между каждой парой соответствующих точек. Он нужен для построения фигуры, которая совпадёт с исходной после поворота на 180 градусов.

Как это устроено

Чтобы построить точку, симметричную точке A относительно прямой, сначала проводят из A перпендикуляр к этой прямой. Перпендикуляр — это прямая, которая пересекает другую под прямым углом. Затем измеряют расстояние от A до оси и откладывают такое же расстояние по перпендикуляру на другой стороне. Так точки оказываются зеркальными: если расстояния были бы разными, при сгибании фигуры по оси они не совпали бы.

Ось симметрии делит пополам отрезок между симметричными точками и пересекает его под прямым углом. Это следует из построения: обе точки лежат на одном перпендикуляре к оси и удалены от неё одинаково. Поэтому ось не просто проходит через середину отрезка, но и образует с ним прямой угол. Такое свойство помогает проверить построение, даже если точки уже нанесены на чертёж.

Проверить симметрию фигуры можно мысленным сгибанием по предполагаемой оси. Если одна часть накрывает другую без зазоров и выступающих краёв, части являются зеркальными. Можно представить отражение в зеркале: каждая точка одной части должна перейти в соответствующую точку другой. Проверка нужна потому, что прямая может проходить через фигуру, но вовсе не делить её на одинаковые половины.

Осевая симметрия выполняется относительно прямой, а центральная — относительно точки. Для центральной симметрии проводят прямую через исходную точку и центр O, затем на противоположной стороне O откладывают такой же отрезок. Центр должен стать серединой отрезка между исходной и новой точками. Это похоже на поворот на 180 градусов: фигура переворачивается вокруг центра, а не отражается через прямую.

У разных фигур бывает разное число осей симметрии, потому что их части устроены по-разному. У равнобедренного треугольника есть одна ось, проходящая через вершину между равными сторонами и середину основания. У прямоугольника две оси, а у квадрата четыре, потому что его можно совместить с собой отражением ещё и по диагоналям. Если ни по одной прямой части фигуры не совпадают, оси симметрии у неё нет.

Виды симметрии и их признаки

Сначала найди, относительно чего проверяют симметрию: прямой или точки. Затем сравни расположение соответствующих точек и выбери подходящий способ проверки. Примеры в таблице помогают запомнить, что одна и та же фигура может обладать обоими видами симметрии.

Разбор задач

Задача 1. Укажите оси симметрии у прямоугольника, квадрата и равнобедренного треугольника. Нужно искать такие прямые, при отражении относительно которых фигура совмещается сама с собой. Проверим привычные линии и не будем считать осью прямую лишь потому, что она проходит через фигуру.

1. У прямоугольника проведём через середины противоположных сторон две прямые: одну вдоль длины, другую вдоль ширины. При отражении половины по каждой из них совпадают, поэтому у прямоугольника две оси.
2. У квадрата проверим те же две прямые через середины противоположных сторон. Кроме них, обе диагонали тоже делят квадрат на совпадающие части, значит, всего осей четыре.
3. У равнобедренного треугольника проведём прямую из вершины между равными сторонами к середине основания. Она делит треугольник на две одинаковые зеркальные части; другие прямые такого совпадения не дают.

Ответ: у прямоугольника две оси, у квадрата четыре, у равнобедренного треугольника одна.

Задача 2. Постройте точку B, симметричную точке A относительно прямой l. Для точного построения мало выбрать точку на глаз: нужно соблюсти и прямой угол, и равенство расстояний до оси. Тогда l окажется серединным перпендикуляром к отрезку AB.

1. Приложим угольник к прямой l и проведём через A перпендикуляр до пересечения с l. Обозначим точку пересечения.
2. Измерим расстояние от A до точки пересечения. На том же перпендикуляре, но по другую сторону от l, отложим равный отрезок и отметим его конец B.
3. Проверим, что A и B лежат на перпендикуляре к l и удалены от неё одинаково. Если оба условия выполнены, точки симметричны.

Ответ: точка B находится на перпендикуляре к l по другую сторону от оси, на таком же расстоянии, как A.

Задача 3. Дана фигура и точка O. Постройте фигуру, центрально симметричную данной относительно O. Удобно начать с вершин: если правильно построить соответствующую точку для каждой вершины, форма и порядок сторон сохранятся. Центр O должен стать серединой каждого отрезка, соединяющего пару соответствующих вершин.

1. Выберем вершину исходной фигуры и проведём прямую через неё и O. Если вершина совпадает с O, её соответствующая точка останется на месте.
2. Измерим расстояние от вершины до O и отложим равный отрезок за O на той же прямой. Получим точку, симметричную выбранной вершине.
3. Повторим построение для каждой вершины. Затем соединим новые точки в том же порядке, что и вершины исходной фигуры.
4. Проверим, что O находится посередине каждого отрезка между исходной вершиной и соответствующей новой точкой. Это подтверждает центральную симметрию.

Ответ: полученная фигура центрально симметрична данной относительно O.

Типичные ошибки

Ошибка: считать осью любую прямую, проходящую через фигуру. Так думают, потому что ось действительно пересекает фигуру, но самого пересечения недостаточно для симметрии. Проверь себя сгибанием: части должны совпасть целиком, а не только касаться линии.

Ошибка: строить точку на равном расстоянии от оси, но не на перпендикуляре к ней. Можно увлечься измерением расстояния и забыть, что точки должны лежать на одной прямой, образующей с осью прямой угол. Проверь оба условия: равенство расстояний и перпендикулярность.

Ошибка: при центральной симметрии отложить точку в ту же сторону от центра. Так бывает, если заметить только равную длину отрезков и не учесть их расположение. Для проверки соедини точки: центр обязан находиться между ними и быть серединой отрезка.

Ошибка: перепутать число осей квадрата и прямоугольника, не проверив диагонали. Диагонали квадрата являются осями, потому что квадрат делится ими на одинаковые части, а диагонали обычного прямоугольника — нет. Проверяй каждую прямую отражением, а не переноси свойство одной фигуры на другую.

Связь с другими темами

Для построений понадобятся знания о точке, прямой, отрезке, перпендикуляре и середине отрезка, а также умение пользоваться линейкой и угольником. Симметрия помогает изучать геометрические фигуры, координаты и преобразования плоскости. В жизни её можно заметить в орнаментах и архитектуре, на чертежах и в природе: повторяющиеся части делают форму упорядоченной.

Что запомнить

• Ось симметрии — прямая зеркального отражения фигуры.
• Симметричные относительно оси точки лежат на перпендикуляре к оси.
• Ось симметрии является серединным перпендикуляром к отрезку между симметричными точками.
• При центральной симметрии центр является серединой отрезка между соответствующими точками.
• У фигуры может быть одна, несколько осей симметрии или ни одной.
• Прямоугольник имеет две оси симметрии, а квадрат — четыре.
• Центральная симметрия соответствует повороту фигуры на 180 градусов.