"Математика (в 2 частях)", Чекин А.Л.
В этой теме мы узнаем, как решать задачи, в которых несколько человек или устройств выполняют одну и ту же работу вместе. Мы научимся находить производительность каждого, определять общую производительность и вычислять время, необходимое для выполнения работы сообща. Это умение пригодится не только на уроках математики, но и в повседневной жизни, когда нужно планировать совместные дела.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Производительность работы – это количество работы, которое выполняется за единицу времени. Она показывает, насколько быстро выполняется задача. Например, если рабочий изготавливает 5 деталей в час, его производительность составляет 5 деталей/час. Это важная характеристика, позволяющая сравнивать эффективность работы разных исполнителей или одного и того же исполнителя в разные периоды времени.
Собственная производительность – это производительность одного работника, если он выполняет работу в одиночку. Она определяется как объем выполненной работы, разделенный на время, затраченное этим работником. Собственная производительность позволяет оценить вклад каждого работника в общий результат.
Совместная производительность – это общая скорость работы, когда несколько работников выполняют задачу одновременно. Она равна сумме собственных производительностей всех работников. Совместная производительность показывает, насколько быстрее выполняется работа, когда несколько человек работают вместе.
Работа – это объем выполненной задачи. Она может измеряться в разных единицах, в зависимости от типа работы: детали, квадратные метры, литры и т.д. Понимание объема работы необходимо для расчета производительности и времени выполнения задачи.
Представьте, что вам нужно покрасить забор. Один человек может покрасить его за 10 часов. Что, если к нему присоединится второй такой же маляр? Интуитивно понятно, что забор будет покрашен быстрее. Но насколько быстрее? Это происходит потому, что общая производительность двух маляров больше, чем производительность одного. Вместе они выполняют больше работы за единицу времени.
Общее время выполнения задачи уменьшается, когда несколько работников работают вместе. Это не простое сложение времени, затраченного каждым работником по отдельности. Если первый маляр покрасит половину забора за 5 часов, а второй – тоже половину за 5 часов, то вместе они покрасят весь забор за 5 часов, а не за 10. Важно помнить, что время выполнения задачи уменьшается за счет сложения производительностей, а не времени.
Производительность работы – это величина, обратная времени. Чем выше производительность, тем меньше времени требуется для выполнения работы. Если первый рабочий выполняет работу за 6 часов, его производительность равна 1/6 работы в час. Если второй рабочий выполняет ту же работу за 4 часа, его производительность равна 1/4 работы в час. Именно эту связь между производительностью и временем важно учитывать при решении задач.
Основная идея решения задач на совместную работу заключается в том, что за единицу времени, когда работники работают вместе, они выполняют сумму своих собственных производительностей. Если у нас есть два работника с производительностями 1/6 и 1/4 работы в час, то вместе они выполнят (1/6 + 1/4) = 5/12 работы в час. Это означает, что они выполнят 5/12 всей работы за каждый час совместной работы.
Чтобы составить уравнение для решения задачи, где известно время работы каждого работника по отдельности, нужно выразить производительность каждого работника через объем работы и время, затраченное на ее выполнение. Затем нужно сложить производительности всех работников и приравнять полученное значение к объему работы, разделенному на время совместной работы. Это позволит найти неизвестное время.
| Величина | Обозначение | Единицы измерения |
|---|---|---|
| Работа | V | единицы (например, детали, м², литры) |
| Производительность | P | единицы в единицу времени (например, детали/час, м²/час) |
| Время | t | часы, минуты |
Эта таблица показывает основные величины, используемые в задачах на производительность, их обозначения и единицы измерения. Понимание связи между этими величинами поможет вам правильно решать задачи и не допускать ошибок.
Задача 1: Первый рабочий выполняет работу за 6 часов, а второй – за 4 часа. За сколько часов они выполнят работу вместе?
Ответ: Они выполнят работу вместе за 2,4 часа.
Задача 2: Два насоса наполняют бассейн за 3 часа. Первый насос наполняет бассейн за 5 часов. За сколько часов наполнит бассейн второй насос?
Ответ: Второй насос наполнит бассейн за 7,5 часов.
Задача 3: Рабочий начал выполнять работу, но проработал 2 часа и ушел. Оставшуюся часть работы сделали два других рабочих за 3 часа. Известно, что первый рабочий выполняет работу за 8 часов, а второй - за 6 часов. За сколько часов выполнил бы эту работу третий рабочий?
Ответ: Третий рабочий выполнит работу за 12 часов.
Использование неправильных единиц измерения: Важно, чтобы работа и производительность были выражены в совместимых единицах. Например, если производительность измеряется в деталях в час, то объем работы должен быть измеряться в деталях.
Ошибочное сложение времени: Нельзя складывать время, затраченное каждым работником по отдельности, чтобы найти общее время. Например, если один рабочий выполняет работу за 6 часов, а другой за 4 часа, то общее время выполнения работы вместе не равно 10 часам.
Неправильное понимание совместной производительности: Совместная производительность – это сумма производительностей отдельных работников, а не среднее значение. Важно помнить, что каждый работник вносит свой вклад в общий результат.
Игнорирование ранее выполненной работы: В некоторых задачах часть работы уже выполнена, и это необходимо учитывать при расчетах. Нельзя забывать вычесть объем выполненной работы из общего объема.
Действия с дробями: Для вычисления производительности и времени необходимо уметь складывать и делить дроби. Производительность часто выражается в виде дроби, представляющей собой часть работы, выполненной за единицу времени.
Решение уравнений: Задачи на совместную работу часто сводятся к решению простых линейных уравнений. После того, как вы составили уравнение, вам нужно будет найти неизвестную переменную.
Что будет, если работники работают с разной производительностью?
Если работники имеют разную производительность, это означает, что они выполняют одинаковый объем работы за разное время. В этом случае, чтобы найти общую производительность, нужно сложить производительности каждого работника, то есть то, какую часть работы каждый из них выполняет за единицу времени.
Можно ли решать задачи на совместную работу, не зная объема работы?
Да, можно. Часто в задачах на совместную работу объем работы принимают за единицу (например, 1 бассейн, 1 деталь, 1 комната). В этом случае, производительность показывает, какую часть работы выполняет каждый работник (или устройство) за единицу времени.
Как решить задачу, если известно только отношение производительностей работников?
Если известно только отношение производительностей, можно принять производительность одного работника за *x*, а производительность другого выразить через *x*. Например, если производительность первого работника в два раза выше, чем у второго, то производительность второго работника будет *x*/2. Затем подставить эти выражения в уравнение и решить его.
Почему важно правильно выбирать единицы измерения в задачах на производительность?
Правильный выбор единиц измерения важен, чтобы производительности и время были согласованы. Например, если производительность выражена в деталях/час, то время должно быть выражено в часах. Иначе, при вычислениях, можно получить неправильный ответ.
Как проверить правильность ответа в задаче на совместную работу?
Проверить ответ можно, подставив полученное значение времени обратно в исходную задачу. Убедитесь, что если работники будут работать вместе в течение этого времени, то объем работы будет выполнен полностью. Также можно оценить реалистичность полученного ответа: время совместной работы не может быть больше, чем время самого быстрого работника.
Производительность при совместной работе
