"Математика (в 2 частях)", Чекин А.Л.
В математике часто встречаются задачи, в которых несколько объектов выполняют одну и ту же работу. Например, два крана наполняют бассейн, или два рабочих собирают партию деталей. Чтобы решить такие задачи, нужно понимать, что такое производительность, объём работы и время, и как эти величины связаны между собой. В этом параграфе мы разберём эти понятия и научимся решать задачи на совместную работу.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Время совместной работы – это время, в течение которого два или более объекта выполняют одну и ту же работу вместе. Например, время, за которое два насоса вместе наполняют бассейн. Понимание этого понятия помогает определить, сколько времени потребуется для выполнения задачи, когда несколько человек или механизмов работают одновременно.
Производительность – количество работы, выполненное объектом в единицу времени. Важно, что разные объекты могут иметь разную производительность. Например, один рабочий может собирать 10 деталей в час, а другой – 15. Производительность позволяет сравнить эффективность разных работников или машин.
Объём работы – величина, характеризующая количество выполненной работы. Обычно измеряется в единицах, соответствующих производительности (например, детали, квадратные метры). Например, если нужно покрасить стену площадью 10 квадратных метров, то объём работы равен 10 м². Учёт объёма работы необходим для правильного расчёта времени и производительности.
Часто возникает искушение просто сложить производительности всех работающих и посчитать время, основываясь на этой сумме. Но это неправильно, потому что каждый объект мог работать в разное время. Представьте, что один рабочий трудился несколько часов, а затем к нему присоединился второй. Простое сложение производительностей не учитывает вклад каждого работника в отдельности и общее время их работы.
Связь между производительностью и временем выполнения работы очень проста: производительность = объём работы / время. Это значит, что если мы знаем, сколько работы выполнено и за какое время, то можем вычислить производительность. Например, если рабочий покрасил стену площадью 20 м² за 4 часа, его производительность составит 20 м² / 4 часа = 5 м²/час.
Чтобы найти время совместной работы, нужно знать общий объём работы и производительности всех работающих объектов. Сначала нужно сложить производительности, чтобы получить общую производительность. Затем нужно разделить объём работы на общую производительность. Эта формула позволяет точно рассчитать время, необходимое для выполнения задачи, когда несколько объектов работают вместе.
В некоторых задачах производительность объектов может меняться во время работы. Например, рабочий может устать и начать работать медленнее, или машина может выйти из строя на некоторое время. В таких случаях нужно разбить задачу на этапы: сначала рассчитать работу, выполненную до изменения производительности, затем – работу, выполненную после изменения производительности. Затем сложить результаты и найти общее время совместной работы.
| Формула | Описание | Пример |
|---|---|---|
| A * t1 = W | A – производительность первого объекта, t1 – время, затраченное первым объектом на выполнение работы W. | Первый рабочий выполнил заказ за 8 часов. Найдите его производительность, если объём заказа — 1. |
| B * t2 = W | B – производительность второго объекта, t2 – время, затраченное вторым объектом на выполнение работы W. | Второй рабочий выполнил тот же заказ за 12 часов. Найдите его производительность. |
| (A + B) * t = W | A и B – производительности первого и второго объектов соответственно, t — время их совместной работы, W — объём работы. | За то же время они вместе выполнят объём 1. |
Эта таблица содержит основные формулы, которые используются для решения задач на совместную работу. Внимательно изучите каждую формулу и попробуйте применить её к простым примерам. Это поможет вам лучше понять, как работают эти формулы, и правильно решать более сложные задачи.
Ответ: Рабочие выполнят работу вместе за 4 часа.
Ответ: Второй насос наполнит бассейн за 12 часов.
Ответ: Второй рабочий выполнит заказ самостоятельно за 5 1/3 часа.
Неправильное определение объёма работы. Часто принимают объём работы за 1, не убедившись, что единицы измерения соответствуют производительности. Важно помнить, что объём работы и производительность должны быть выражены в одних и тех же единицах. Например, если производительность измеряется в м²/час, то объём работы должен быть измерён в м².
Сложение времени выполнения работы каждым работником. Время совместной работы не равно сумме отдельных времен. Это одна из самых распространенных ошибок. Надо учитывать производительность каждого работника и объём работы.
Ошибка в расчётах, связанная с неправильной записью дробей или десятичных чисел, особенно при расчёте производительности. Внимательно проверяйте свои вычисления и используйте калькулятор, если это необходимо.
Неучёт изменения производительности. Иногда в задаче указывается, что производительность одного из работников изменяется в процессе работы. Важно внимательно прочитать условие задачи и разбить её на этапы, учитывая изменения производительности.
Дроби и проценты: уверенное владение этими темами необходимо для расчёта производительности и времени. Например, для преобразования времени из часов в минуты или наоборот, а также для вычисления доли работы, выполненной каждым работником.
Задачи на движение: принципы расчёта скорости, времени и расстояния аналогичны задачам на совместную работу. В обоих случаях мы имеем дело с величинами, которые связаны между собой, и необходимо найти одну из них, зная другие.
Что такое производительность и как она измеряется?
Производительность показывает, сколько работы объект выполняет за единицу времени. Она измеряется в долях работы, выполненных за час, день или другую единицу времени. Например, если рабочий выполняет 1/4 работы в час, его производительность равна 1/4 работы/час.
Если один рабочий работает быстрее другого, то как это повлияет на время совместной работы?
Более быстрый рабочий имеет большую производительность. Когда они работают вместе, их производительности складываются, что позволяет выполнить работу быстрее, чем если бы они работали отдельно. Чем больше разница в их производительности, тем значительнее ускорение.
Как решить задачу, если работники начинают работать не одновременно?
В этом случае нужно разделить задачу на этапы: сначала рассмотреть работу первого работника до прихода второго, затем – их совместную работу. Необходимо вычислить, какую часть работы успел сделать первый работник до прихода второго, а затем уже находить время совместной работы над оставшейся частью.
Что делать, если в задаче указано, что один из работников выполняет только часть работы?
Нужно определить, какой объём работы выполнил этот работник, а затем рассмотреть оставшуюся часть работы. При расчётах производительности также нужно учитывать только ту часть работы, которую выполняет данный работник, а не весь объём.
Можно ли решать задачи на совместную работу с помощью пропорций?
Да, можно. Если известна производительность и время работы одного работника, можно составить пропорцию, чтобы найти время работы другого работника или их совместной работы. Однако, более универсальным является использование формулы (A + B) * t = W.
Время совместной работы
