"Математика (в 2 частях) ", Чекин А.Л.
Положительные и отрицательные числа позволяют описывать величины по разные стороны от нуля: например, температуру выше и ниже нуля. Чтобы сравнивать такие числа и выполнять с ними действия, удобно пользоваться координатной прямой, модулями и противоположными числами. Главное — учитывать знаки: порядок отрицательных чисел отличается от привычного порядка натуральных, а вычитание всегда можно заменить сложением противоположного числа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Положительное число — число, которое больше нуля; на координатной прямой оно расположено правее нуля. Например, 4 и 0,7 — положительные числа. Это понятие помогает описывать величины, которые превышают выбранный нулевой уровень, и отличать их от отрицательных значений.
Отрицательное число — число, которое меньше нуля; на координатной прямой оно расположено левее нуля. Перед таким числом ставят знак минус: например, −5 или −0,3. Отрицательные числа нужны, чтобы обозначать значения ниже нуля, а также положения и изменения, направленные в сторону, противоположную положительным.
Противоположные числа — числа с одинаковыми модулями и разными знаками; их сумма равна нулю. Например, −9 и 9 противоположны, потому что находятся на одинаковом расстоянии от нуля по разные стороны. Такое понятие удобно при сложении и вычитании: противоположное число позволяет заменить действие вычитания сложением.
Модуль числа — расстояние от соответствующей точки координатной прямой до нуля. Модуль не может быть отрицательным: например, |−6| = 6 и |6| = 6. Он показывает величину числа без учёта направления и помогает сравнивать отрицательные числа и находить результат сложения чисел с разными знаками.
Координатная прямая задаёт порядок чисел: при движении вправо значения увеличиваются, а при движении влево уменьшаются. Поэтому из двух чисел больше то, которое находится правее, независимо от того, положительные это числа или отрицательные. Например, −2 больше −5: точка −2 расположена ближе к нулю и правее точки −5. Прямая помогает увидеть порядок, не полагаясь на привычное сравнение чисел без знака.
Если числа имеют разные знаки, положительное всегда больше отрицательного, потому что любое положительное число расположено правее нуля, а отрицательное — левее. При сравнении двух отрицательных чисел направление сравнения модулей меняется: чем дальше число от нуля влево, тем оно меньше. Поэтому −4 > −10, хотя 4 < 10. Модуль показывает расстояние, а расположение слева от нуля объясняет, почему больший модуль не означает большее отрицательное число.
При сложении чисел с одинаковыми знаками их расстояния от нуля складываются, а направление остаётся общим. Поэтому складывают модули, а затем сохраняют знак обоих слагаемых: например, −3 + (−5) = −8, а 3 + 5 = 8. Это похоже на движение в одну сторону: два шага влево дают суммарное перемещение влево, а два шага вправо — вправо. Сначала можно выполнить вычисление с модулями, затем поставить нужный знак.
При сложении чисел с разными знаками одно слагаемое как бы компенсирует часть другого. Поэтому модули не складывают, а вычитают меньший из большего; знак оставшейся части совпадает со знаком числа, которое дальше от нуля. Например, в сумме −9 + 4 отрицательная часть больше, значит результат отрицательный. Если расстояния от нуля равны, слагаемые полностью компенсируют друг друга, и получается нуль.
Вычитание числа заменяют сложением противоположного: a − b = a + (−b). Такой переход сохраняет смысл действия и позволяет применять уже известные правила сложения. Если вычитаемое положительное, его противоположное отрицательно; если вычитаемое отрицательное, противоположное число положительно. Поэтому вычитание отрицательного числа приводит к сложению: например, 6 − (−2) = 6 + 2. Скобки помогают не перепутать знак числа со знаком действия.
Выберите строку по знакам чисел и выполняемому действию. В правилах сложения отдельно проверяйте модули: от этого зависит и способ вычисления, и знак ответа. Перед вычитанием сначала замените действие сложением противоположного числа.
| Ситуация | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Сравнение чисел с разными знаками | Положительное число больше отрицательного. | 3 > −7 |
| Сравнение отрицательных чисел | Больше число с меньшим модулем. | −2 > −6 |
| Сложение чисел с одинаковыми знаками | Сложить модули и сохранить общий знак. | −4 + (−3) = −7 |
| Сложение чисел с разными знаками | Вычесть меньший модуль из большего и взять знак числа с большим модулем; при равных модулях получить нуль. | −8 + 5 = −3 |
| Вычитание числа | Заменить вычитание сложением противоположного числа. | 4 − (−3) = 4 + 3 = 7 |
Сравните −8 и −3. Оба числа отрицательные, поэтому сравним их модули и затем учтём расположение на прямой. Модули равны 8 и 3: точка −8 находится дальше влево, а −3 — правее. Следовательно, больше −3.
Определяем знаки чисел: оба числа меньше нуля. Для отрицательных чисел нельзя переносить обычный порядок модулей без изменения знака сравнения.
Находим модули: |−8| = 8, |−3| = 3. Так как 3 меньше 8, число −3 ближе к нулю и располагается правее −8.
Записываем результат сравнения: −8 < −3. Это согласуется с правилом координатной прямой: правое число больше.
Ответ: −8 < −3.
Вычислите −12 + 7. Слагаемые имеют разные знаки, значит, сначала нужно сравнить модули. Модуль отрицательного слагаемого равен 12, а положительного — 7; отрицательное слагаемое по величине больше. Поэтому вычтем меньший модуль из большего и сохраним знак числа −12.
Находим модули слагаемых: |−12| = 12 и |7| = 7. Это позволяет определить, какая часть суммы останется после взаимного погашения слагаемых.
Вычитаем меньший модуль из большего: 12 − 7 = 5. Знак результата берём у числа с большим модулем, то есть у −12.
Ставим перед полученным числом минус. Проверка по прямой тоже подходит: сдвиг на 12 единиц влево и на 7 вправо оставляет сдвиг на 5 единиц влево.
Ответ: −5.
Вычислите −4,6 − (−7,2) + 1,5. В выражении есть вычитание отрицательного числа, поэтому сначала заменим его сложением противоположного числа. Затем сложим числа с разными знаками, последовательно проверяя модули и выбирая знак по большему модулю. Такой порядок действий снижает риск перепутать два знака минус.
Заменяем вычитание сложением: −4,6 − (−7,2) + 1,5 = −4,6 + 7,2 + 1,5. Противоположное число для −7,2 — это 7,2.
Складываем −4,6 и 7,2: модули различаются на 7,2 − 4,6 = 2,6. Больший модуль у положительного числа, поэтому сумма равна 2,6.
Прибавляем 1,5: оба числа положительные, значит, складываем модули и оставляем знак плюс. Получаем 2,6 + 1,5 = 4,1.
Ответ: 4,1.
Ошибка — считать, что число с большим модулем всегда больше. Так часто происходит, потому что при сравнении положительных чисел больший модуль действительно означает большее число. У отрицательных порядок обратный: например, −8 < −3. Проверка: расположите числа на координатной прямой и посмотрите, какое находится правее.
Ошибка — складывать модули чисел с разными знаками. Ученик может принять их за два одинаково направленных изменения, хотя они частично компенсируют друг друга. Например, −10 + 6 = −4, а не −16. Перед вычислением проверьте знаки слагаемых: при разных знаках модули вычитают.
Ошибка — выбирать знак суммы с разными знаками по первому слагаемому. Порядок записи не определяет, в какую сторону будет направлен результат: важен модуль каждого числа. Например, 3 + (−8) отрицательно, потому что модуль 8 больше. Для проверки сначала сравните модули, а знак возьмите у слагаемого с большим модулем.
Ошибка — оставить знак вычитания, если вычитаемое отрицательное. Два знака могут сбить с толку, поэтому полезно не считать их механически, а применить правило: вычитание заменяют сложением противоположного числа. Например, 5 − (−2) = 5 + 2 = 7. Проверьте преобразование отдельно: противоположное числу −2 — это 2.
Для работы с отрицательными числами нужны навыки построения координатной прямой, сравнения натуральных чисел и действий с обыкновенными и десятичными дробями. Знание модулей помогает уверенно определять расстояния от нуля, а правила знаков применяются и к дробным значениям. Дальше эти правила понадобятся при умножении и делении чисел с разными знаками, решении уравнений и вычислении значений выражений. Поэтому полезно не только запоминать алгоритм, но и понимать, как он связан с положением чисел на прямой.
Почему −3 больше, чем −8?
На координатной прямой −3 находится правее −8, поэтому −3 больше. Среди отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше: 3 < 8.
Как определить знак суммы чисел с разными знаками?
Нужно сравнить модули слагаемых и вычесть меньший из большего. Знак результата будет таким же, как у слагаемого с большим модулем.
Что делать, если модули слагаемых равны?
Если слагаемые имеют разные знаки, а их модули равны, их сумма равна нулю. Например, −6 + 6 = 0.
Почему вычитание отрицательного числа превращается в сложение?
Вычесть число — значит прибавить число, противоположное вычитаемому. Противоположное отрицательному число положительно, поэтому, например, 5 − (−2) = 5 + 2.
Как проверить результат сложения или вычитания чисел?
При сложении можно вычесть из суммы одно слагаемое и проверить, получилось ли другое. При вычитании сложите разность с вычитаемым: должна получиться уменьшаемая величина. Также оцените знак и примерную величину ответа.
Сравнение, сложение и вычитание чисел
