Больше и меньше на некоторое число

Определения и обозначения

Число на несколько больше данного — это число, которое получается, если к данному прибавить указанное количество единиц. Например, число на 3 больше 6 равно 6 + 3 = 9. Такое выражение помогает найти новое количество, когда известно исходное и сказано, насколько оно увеличилось.

Число на несколько меньше данного — это число, которое получается, если из данного вычесть указанное количество единиц. Например, число на 2 меньше 8 равно 8 − 2 = 6. Это правило нужно, чтобы найти уменьшенное количество, не пересчитывая предметы по одному.

Увеличить число на несколько единиц — значит прибавить к нему названное число. Если увеличить 5 на 4, получится 5 + 4 = 9. Такое действие используют, когда новое количество должно стать больше исходного ровно на указанное число единиц.

Уменьшить число на несколько единиц — значит вычесть из него названное число. Если уменьшить 9 на 3, получится 9 − 3 = 6. Это помогает определить оставшееся или меньшее количество, когда известно, на сколько единиц оно сократилось.

Как это устроено

Сравнить два количества можно с помощью предметов или одинаковых рисунков. Расположи предметы парами: каждому предмету из меньшей группы соответствует один из большей, а непарные предметы останутся только в большей группе. Их число и есть разность — то, насколько количества отличаются.

Чтобы найти число, которое на несколько больше данного, нужно прибавить разность. Представь, что в одной группе 5 предметов, а в другой их на 2 больше: к пяти добавляются ещё два предмета. Поэтому в большей группе 5 + 2 = 7 предметов, а не 5 − 2.

Чтобы найти число, которое на несколько меньше данного, нужно вычесть разность. Если в группе было 5 предметов, а в другой должно быть на 2 меньше, два предмета убирают из пяти. Остаётся 5 − 2 = 3 предмета; результат действительно меньше исходного числа.

Вопросы «на сколько больше?» и «на сколько меньше?» описывают одну и ту же разницу между двумя количествами. Если у одного человека 10 предметов, а у другого 6, то у первого на 4 больше, а у второго на 4 меньше. В обоих случаях непарными остаются четыре предмета, поэтому ответ даёт одно вычисление: 10 − 6 = 4.

Выбирай действие по тому, что именно требуется найти, а не только по отдельному слову в условии. Если ищешь большее количество по меньшему — прибавляй; если меньшее по большему — вычитай; если ищешь разницу — вычитай меньшее из большего. Проверь результат: при сложении вычти прибавленное число, а при вычитании прибавь вычтенное; должно получиться исходное число.

Как найти число, которое на несколько больше или меньше данного

Сначала найди в условии, какое количество известно и что требуется определить. Затем выбери строку таблицы с подходящим вопросом и выполни указанное действие. Проверь, соответствует ли ответ условию: большее количество должно быть больше, а разность — показывать, сколько единиц их разделяет.

Разбор задач

Задача. У Маши 4 карандаша, а у Пети на 2 карандаша больше. Сколько карандашей у Пети? Известно количество у Маши, а количество у Пети должно быть больше него на две единицы. Значит, требуется найти большее количество по меньшему, поэтому выбираем сложение.

1. Запишем известное количество: у Маши 4 карандаша.
2. Прибавим 2 карандаша, на которые у Пети больше: 4 + 2 = 6.
3. Проверим смысл: 6 больше 4 на 2, потому что 6 − 4 = 2.

Ответ: у Пети 6 карандашей. При проверке мы вернулись к числу Маши и убедились, что разница составляет ровно 2. Если бы в ответе получилось меньше 4, выбранное действие не подходило бы условию.

Задача. На ветке сидели 9 птиц, а на соседней — на 3 птицы меньше. Сколько птиц сидело на соседней ветке? Здесь известно большее количество, а нужно найти меньшее. Поэтому убираем из девяти три птицы, составляющие разницу между ветками.

1. Запишем количество птиц на первой ветке: 9.
2. Вычтем 3 птицы: 9 − 3 = 6.
3. Проверим: на первой ветке на 3 птицы больше, так как 6 + 3 = 9.

Ответ: на соседней ветке сидело 6 птиц. Ответ меньше 9, как и требует условие. Проверка сложением подтверждает, что между количествами ровно три птицы.

Задача. У Димы 6 марок, у Оли 10. На сколько марок у Димы меньше, чем у Оли? На сколько у Оли больше, чем у Димы? В обоих вопросах требуется не найти новое количество, а сравнить уже известные количества. Значит, нужно определить разность между большим и меньшим числами.

1. Определим большее и меньшее количество: у Оли 10 марок, у Димы 6.
2. Вычтем меньшее число из большего: 10 − 6 = 4.
3. Используем найденную разность для обоих вопросов: она показывает и насколько у Димы меньше, и насколько у Оли больше.

Ответ: у Димы на 4 марки меньше, у Оли на 4 марки больше. Проверка: 6 + 4 = 10, значит, разность верно соединяет оба количества. Меняется формулировка вопроса, но сами сравниваемые числа остаются теми же.

Типичные ошибки

При словах «на несколько больше» иногда вычитают указанное число. Так делают, путая поиск нового, увеличенного количества с поиском разности между двумя готовыми количествами. Проверь себя: результат должен быть больше исходного, а обратное вычитание должно вернуть исходное число.

При словах «на несколько меньше» иногда прибавляют вместо вычитания. Ошибка возникает, если не проверить, каким должен быть результат: искомое количество обязано быть меньше исходного. Убедись, что ответ меньше, а прибавление указанной разницы возвращает исходное число.

Вопрос «на сколько больше?» можно спутать с вопросом «во сколько раз больше?». Слова похожи, но спрашивают о разном: в первом случае ищут разность вычитанием, во втором — отношение делением. Проверь формулировку: «на сколько» означает узнать количество единиц разницы.

Иногда считают, что на вопросы «на сколько больше?» и «на сколько меньше?» нужны разные вычисления. Но они сравнивают одну пару количеств, поэтому для обоих достаточно вычесть меньшее число из большего. Самопроверка проста: разность должна показывать, сколько нужно прибавить к меньшему количеству, чтобы получить большее.

Связь с другими темами

Для решения таких задач нужно уметь складывать и вычитать числа и определять, какое из двух чисел больше. Сравнение можно представить предметами, рисунком или движением по числовому ряду: разность показывает промежуток между числами. Эти способы помогают увидеть смысл вычисления, а не просто выбрать действие по памяти.

Приём встречается в текстовых задачах на увеличение и уменьшение числа, а также на сравнение количеств. Он помогает перейти от рисунка или описания к выражению и объяснить, что означает полученный ответ. В дальнейшем полезно сначала выяснять, ищется ли новое количество или разница между уже известными.

Что запомнить

• Чтобы найти число на несколько больше данного, нужно прибавить.
• Чтобы найти число на несколько меньше данного, нужно вычесть.
• Чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, нужно найти их разность.
• Разность отвечает и на вопрос «на сколько больше?», и на вопрос «на сколько меньше?».
• Слова «на несколько» указывают на разность, а не на сравнение «во сколько раз».
• Проверить вычитание можно сложением, а сложение — вычитанием.