"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.
Деление с остатком помогает узнать, сколько полных раз одно число содержится в другом и что останется. Его записывают равенством a = b · q + r: делимое равно произведению делителя и неполного частного плюс остаток. Остаток всегда меньше делителя, а ноль тоже может быть остатком. При письменном делении цифры частного подбирают по очереди, проверяя каждую умножением. Результат можно проверить, восстановив делимое.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деление с остатком — действие, при котором число представляют в виде произведения делителя и неполного частного с добавлением остатка. Например, 17 = 5 · 3 + 2. Такая запись помогает описать деление, когда делимое не делится на делитель нацело, и увидеть, сколько целых групп получилось.
Делимое — многозначное число, которое нужно разделить. В равенстве 17 = 5 · 3 + 2 делимое — число 17, потому что именно его распределяют на группы по 5. Понимание этого названия помогает не перепутать числа в записи деления и в проверке.
Делитель — число, на которое делят; остаток всегда меньше делителя. В примере 17 : 5 делитель равен 5, то есть именно столько единиц составляет одна полная группа. Делитель задаёт размер группы и помогает проверить, закончен ли подбор частного.
Неполное частное — наибольшее целое число, которое показывает, сколько раз делитель содержится в делимом без превышения. В примере 17 : 5 оно равно 3: четыре группы по 5 потребовали бы уже 20 единиц. Это число отвечает за количество полных групп и вместе с остатком позволяет восстановить делимое.
Деление с остатком записывают равенством a = b · q + r, где a — делимое, b — делитель, q — неполное частное, r — остаток. Равенство показывает, как собрать исходное число обратно: сначала взять q групп по b предметов, затем добавить оставшиеся r предметов. Поэтому такая запись подходит и для вычислений, и для задач про распределение предметов.
Остаток должен быть меньше делителя. Если при делении на 6 осталось, например, 8, то из этих восьми единиц можно составить ещё одну полную группу из шести и оставить только две. Значит, прежнее частное было не наибольшим. Остаток не может быть отрицательным, поэтому выполняется условие 0 ≤ r < b.
Письменное деление выполняют по разрядам. Сначала выбирают часть делимого, делят её, затем умножают делитель на подобранную цифру частного и вычитают полученное произведение. После вычитания сносят следующую цифру делимого, то есть приписывают её к оставшемуся числу. Так учитывается разрядный состав исходного числа и последовательно находится каждая цифра частного.
Первую часть делимого выбирают слева: в ней должно быть столько цифр, чтобы получившееся число было не меньше делителя. Если первая цифра делимого меньше делителя, одной цифры недостаточно — берут первые две. Например, при делении 4286 на 17 начинают с 42, потому что 4 меньше 17, а 42 уже больше 17. Такой выбор позволяет сразу определить первый разряд частного.
При подборе цифры частного нужно найти наибольшую цифру, произведение которой на делитель не превышает текущую часть делимого. Умножение и вычитание проверяют, правильно ли сделан выбор: если разность отрицательная, цифра слишком велика, а если полученный остаток не меньше делителя — частное можно увеличить. В конце умножают весь делитель на неполное частное и прибавляют остаток. Если получилась исходная величина, вычисление верно.
| Элемент или случай | Правило | Запись или проверка |
|---|---|---|
| Деление с остатком | Делимое равно произведению делителя и частного плюс остаток | a = b · q + r |
| Остаток | Остаток неотрицателен и меньше делителя | 0 ≤ r < b |
| Нулевой остаток | Деление выполняется нацело | a = b · q |
| Ненулевой остаток | Деление не выполняется нацело | a = b · q + r |
| Проверка | Умножить делитель на частное и прибавить остаток | b · q + r = a |
Сначала по таблице можно определить, как записать деление и какие условия должен выполнять остаток. Затем выберите строку, которая описывает ваш случай: деление нацело или с ненулевым остатком. Для проверки подставьте найденные числа в равенство и убедитесь, что получено делимое.
Начинаем с первой цифры: 3 меньше 5, поэтому рассматриваем первые две цифры — 34. Наибольшая цифра, на которую можно умножить 5, не превысив 34, — 6. После первого вычитания сносим следующую цифру делимого и повторяем те же действия.
Делим 34 на 5: выбираем 6, потому что 5 · 6 = 30, а 5 · 7 = 35 уже больше 34. Вычитаем 30 из 34 и получаем 4.
Сносим последнюю цифру 7, получаем 47. Выбираем 9, так как 5 · 9 = 45, а 5 · 10 больше 47. Вычитаем 45 и получаем остаток 2.
Записываем частное 69 и остаток 2. Проверяем: 5 · 69 + 2 = 345 + 2 = 347, а 2 меньше 5.
Ответ: 347 : 5 = 69 (ост. 2).
Одной цифры слева недостаточно: 4 меньше 17, поэтому начинаем с числа 42. Дальше после каждого вычитания сносим следующую цифру и подбираем новую цифру частного. Проверяем, чтобы произведение делителя на выбранную цифру не превышало рассматриваемую часть.
Для 42 выбираем 2: 17 · 2 = 34, а 17 · 3 = 51 — уже слишком много. Вычитаем 34 из 42, получаем 8 и сносим 8: выходит 88.
Для 88 выбираем 5, так как 17 · 5 = 85. Вычитаем 85 и получаем 3, затем сносим последнюю цифру 6: выходит 36.
Для 36 выбираем 2: 17 · 2 = 34. После вычитания остаётся 2, поэтому частное равно 252, остаток равен 2. Проверяем: 17 · 252 + 2 = 4286.
Ответ: 4286 : 17 = 252 (ост. 2).
Чтобы узнать число полных коробок, нужно разделить количество книг на число книг в одной коробке: 7354 : 28. Частное покажет количество коробок, которые можно заполнить полностью, а остаток — книги, не вошедшие в них. Деление выполняем по разрядам, каждый раз проверяя выбранную цифру умножением на 28.
Берём 73: 28 · 2 = 56, а 28 · 3 = 84 больше 73. Записываем 2, вычитаем 56 и получаем 17; сносим 5, получаем 175.
Для 175 подходит 6, потому что 28 · 6 = 168, а 28 · 7 = 196 больше 175. Вычитаем 168, получаем 7 и сносим 4: выходит 74.
Для 74 подходит 2: 28 · 2 = 56. После вычитания остаётся 18, поэтому частное равно 262, а остаток — 18. Проверка: 28 · 262 + 18 = 7336 + 18 = 7354, и 18 меньше 28.
Ответ: получится 262 полные коробки, останется 18 книг.
Иногда в частное записывают цифру, не проверив её умножением на делитель. Так можно выбрать слишком большую цифру, и произведение превысит рассматриваемую часть делимого. Перед вычитанием умножьте делитель на выбранную цифру; произведение должно быть не больше этой части.
После вычитания можно забыть снести следующую цифру делимого. Тогда вычисление остановится раньше времени или нарушится разрядный порядок частного. Сверяйте каждый шаг с записью делимого: после каждого вычитания, кроме последнего, нужно использовать следующую цифру.
Бывает, что остаток записывают равным делителю или большим него. Это означает, что можно выделить ещё одну полную группу, то есть частное не является наибольшим. Проверьте условие 0 ≤ r < b и, если оно не выполнено, продолжите деление.
В текстовой задаче остаток иногда принимают за количество дополнительных полных групп или округляют частное вверх. Так делать нельзя: остаток показывает только те предметы, которые не вошли в полные группы. Сформулируйте, что обозначает каждое найденное число, и проверьте, соответствует ли ответ условию задачи.
Для деления многозначных чисел нужны таблица умножения, письменные умножение и вычитание, а также понимание разрядов. Деление нацело — частный случай деления с остатком: в равенстве a = b · q + r остаток r равен нулю. Умение делить с остатком пригодится в текстовых задачах и при проверке делимости чисел. Оно также помогает при изучении остатков и обыкновенных дробей.
Почему остаток не может быть больше или равен делителю?
Если остаток равен делителю или больше него, в нём помещается ещё хотя бы один делитель. Значит, частное можно увеличить, а деление ещё не закончено.
Как понять, с какой цифры начинать деление?
Слева берут наименьшее количество цифр делимого, при котором получившееся число не меньше делителя. Если первой цифры достаточно, начинают с неё; если нет — берут первые две.
Что делать, если при подборе цифры частного получается ноль?
Ноль ставят в соответствующий разряд частного, если после снесения очередной цифры полученное число меньше делителя. Затем сносят следующую цифру и продолжают деление.
Как проверить правильность деления с остатком?
Нужно умножить делитель на неполное частное и прибавить остаток. Должно получиться делимое, а сам остаток должен быть неотрицательным и меньше делителя.
Как истолковать частное и остаток в текстовой задаче?
Неполное частное показывает, сколько полных групп или коробок можно составить. Остаток показывает, сколько предметов не вошло в эти группы.
Деление многозначного числа с остатком
