Деление многозначного числа на трёхзначное число

Определения и обозначения

Делимое — многозначное число, которое требуется разделить; при записи деления уголком его записывают слева. Это число задаёт исходное количество, которое мы распределяем на равные группы или части. Чтобы не потерять порядок цифр, при письменном делении делимое переписывают аккуратно, а цифры сносят по одной.

Делитель — трёхзначное число, на которое делят. На каждом шаге цифру частного выбирают так, чтобы произведение делителя на эту цифру не превосходило очередного неполного делимого. Делитель задаёт размер одной группы, поэтому проверка произведения помогает не взять слишком большую цифру частного.

Неполное делимое — число, которое на очередном шаге получают из цифр делимого и остатка предыдущего шага. Сначала это начальная часть исходного числа, а затем — остаток, к которому снесли следующую цифру. Оно нужно, чтобы делить число постепенно, не пытаясь сразу найти всё частное.

Неполное частное — цифра частного, которую находят на одном шаге деления и записывают в соответствующий разряд. Каждая такая цифра показывает, сколько раз делитель помещается в текущем неполном делимом. Правильное место цифры важно: иначе итоговое частное будет записано с нарушением разрядов.

Как это устроено

Чтобы начать деление, двигайся по цифрам делимого слева направо и сначала рассмотри первые три цифры. Если полученное число меньше делителя, его недостаточно для первого шага, поэтому к нему присоединяют следующую цифру делимого. Так выбирают наименьшую начальную часть, которая уже не меньше делителя. Разряд этой части подсказывает, в каком разряде частного появится первая цифра: это помогает сразу правильно расположить результат.

Первую цифру частного обычно можно оценить по первым цифрам неполного делимого и делителя. Такая оценка нужна, чтобы не перебирать все цифры от нуля до девяти, но она может оказаться неточной из-за оставшихся цифр чисел. Поэтому предполагаемую цифру обязательно проверяют умножением. Произведение должно быть не больше неполного делимого, а если увеличить цифру на единицу, произведение должно стать больше него.

Когда цифра частного найдена, умножь на неё делитель и запиши произведение под неполным делимым. Вычитание показывает, сколько ещё осталось распределить после того, как учли найденное число групп. Если не вычесть произведение, дальнейший шаг начнётся с неверного остатка. Поэтому результат вычитания нужно проверить и только потом продолжать деление.

К остатку сносят следующую цифру делимого: приписывают её справа и получают новое неполное делимое. Так сохраняется связь с исходным числом и учитываются его разряды по порядку. Если получившееся число меньше делителя, на этом шаге делитель не помещается в нём ни одного раза. Тогда в соответствующем разряде частного записывают 0, иначе следующие цифры частного сдвинутся и значение результата изменится.

Деление заканчивают, когда все цифры делимого использованы. Получившийся остаток должен быть меньше делителя: если это не так, в частном ещё можно увеличить цифру или продолжить шаги. Проверка восстанавливает исходное число: частное умножают на делитель и прибавляют остаток. Если получилось делимое, а остаток меньше делителя, результат записан верно.

Шаги деления многозначного числа на трёхзначное

Пользуйся таблицей как порядком действий: переходи к следующей строке только после проверки текущего шага. Особенно внимательно следи за разрядами частного и за тем, какую цифру делимого ты сносишь. В конце выполни обе проверки: остатка и всего равенства.

Разбор задач

Задача. Выполните деление 8640 : 240. У обоих чисел в конце есть ноль, поэтому делимое и делитель можно сократить на 10: это не меняет частное, так как оба числа уменьшаются во столько же раз. После сокращения получаем более удобное деление 864 : 24.

1. Выбираем первое неполное делимое 86? Оно меньше 24? Нет, 86 больше 24, но для деления на 24 первая цифра частного соответствует 86, поскольку берём первые две цифры. 24 × 3 = 72, а 24 × 4 = 96, поэтому первая цифра — 3.
2. Вычитаем 86 − 72 = 14 и сносим 4. Получаем 144; 24 × 6 = 144, значит, следующая цифра частного — 6.
3. Частное равно 36, остаток равен 0. Проверка: 240 × 36 = 8640.

Ответ: 36.

Задача. Выполните деление 84240 : 312. Начинаем с 842, потому что первые две цифры 84 меньше 312. Здесь важно проверять каждую оценочную цифру умножением, а затем не забыть записать ноль, если после очередного сноса делимое меньше делителя.

1. Для 842 подбираем 2: 312 × 2 = 624, а 312 × 3 = 936, что больше 842. Вычитаем 842 − 624 = 218 и сносим 4, получаем 2184.
2. 312 × 7 = 2184, значит, следующая цифра частного — 7. После вычитания остаток равен 0; сносим последнюю цифру 0, получаем 0.
3. Ноль меньше 312, поэтому последней цифрой частного записываем 0. Частное равно 270; проверка: 312 × 270 = 84240.

Ответ: 270.

Задача. Разделите 100000 на 405 с остатком и проверьте результат. Первые три цифры дают 100, а это меньше 405, поэтому для первого неполного делимого нужно взять 1000. Последующие нули важно обрабатывать по одному, чтобы сохранить разряды частного.

1. 405 × 2 = 810, а 405 × 3 = 1215, поэтому первая цифра — 2. Остаток: 1000 − 810 = 190; сносим 0, получаем 190, которое меньше 405, и записываем в частном 0.
2. Сносим следующий 0: получаем 1900. Подходит цифра 4, так как 405 × 4 = 1620, а 405 × 5 = 2025. После вычитания остаётся 280; сносим последнюю цифру 0 и получаем 2800.
3. 405 × 6 = 2430, а 405 × 7 = 2835, поэтому последняя цифра — 6. Остаток равен 2800 − 2430 = 370, он меньше 405.
4. Проверяем: 405 × 246 + 370 = 99630 + 370 = 100000.

Ответ: 246 (ост. 370).

Типичные ошибки

Если начать с части делимого, которая меньше делителя, первый шаг деления не получится: нельзя найти подходящую ненулевую цифру частного. Так случается, когда выбирают первые цифры, не сравнив их с делителем. Проверь себя сравнением: первое неполное делимое должно быть не меньше делителя, а если это не так, добавь следующую цифру делимого.

Слишком большая цифра частного приводит к тому, что произведение делителя на неё превышает неполное делимое, и при вычитании получается отрицательное число. Часто цифру выбирают только на глаз и не проверяют умножением. Перед вычитанием сравни произведение с неполным делимым; при необходимости уменьши цифру, пока произведение не станет подходящим.

Пропуск нуля в частном сдвигает следующие цифры на один разряд, поэтому результат получается другим. Ошибку допускают, когда видят, что неполное делимое меньше делителя, и сразу сносят следующую цифру. Проверь соответствие разрядов: если на очередном шаге делитель не помещается, запиши в этом разряде 0.

Остаток, равный делителю или больший него, означает, что деление ещё не завершено или цифра частного выбрана неверно. Иногда остаток оставляют без сравнения с делителем. Умножь делитель на частное и прибавь остаток, а затем отдельно проверь, что остаток меньше делителя.

Связь с другими темами

Для такого деления нужны навыки письменного деления на однозначное и двузначное число, умножения многозначных чисел и вычитания столбиком. Эти действия повторяются на каждом шаге, поэтому уверенное владение ими помогает не отвлекаться от выбора разрядов и цифр частного. Если вычисления с ними пока вызывают трудности, полезно сначала потренировать их отдельно.

Приём деления уголком переносится на делители с большим количеством цифр: меняется число цифр делителя, но сохраняется порядок действий. Он также пригодится при вычислениях с остатком и проверке результата умножением. Равенство делимое = делитель × частное + остаток связывает все эти действия и позволяет проверить ответ.

Что запомнить

• Первое неполное делимое должно быть не меньше делителя.
• Каждую цифру частного проверяют умножением.
• После вычитания к остатку сносят следующую цифру делимого.
• Если неполное делимое меньше делителя, в частном записывают 0 в соответствующем разряде.
• Остаток всегда меньше делителя.
• Проверка: делимое = делитель × частное + остаток.