"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.
Чтобы умножить многозначное число на трёхзначное, второй множитель раскладывают на сотни, десятки и единицы. Затем находят отдельные произведения и складывают их, учитывая разряд каждого слагаемого. Такой приём помогает выполнять вычисления столбиком, не терять разряды и аккуратно переносить десятки. Он пригодится и в задачах, где одинаковое количество предметов повторяется много раз.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многозначный множитель — число, на которое умножают; в этой теме его записывают как сумму разрядных слагаемых. Например, 132 можно представить как 100 + 30 + 2. Такое представление помогает выполнить одно сложное умножение как несколько более простых.
Разрядный множитель — слагаемое вида 100, 20 или 3, на которое раскладывают трёхзначный множитель. Оно показывает, сколько сотен, десятков или единиц содержит число. Благодаря этому можно отдельно учесть вклад каждого разряда в общий результат.
Неполное произведение — результат умножения многозначного числа на одно из разрядных слагаемых второго множителя. Например, при вычислении 246 · 132 одним из неполных произведений будет 246 · 30. Такие результаты записывают отдельными строками, чтобы затем сложить их без потери разрядов.
Письменное умножение столбиком — способ записать вычисление так, чтобы удобно найти неполные произведения и сложить их. Цифры чисел располагают по разрядам, а каждое промежуточное произведение начинают в подходящем месте. Такая запись делает переносы и возможные ошибки заметными.
Трёхзначный множитель можно представить суммой сотен, десятков и единиц: например, 132 = 100 + 30 + 2. Распределительное свойство умножения позволяет умножить первый множитель на каждое слагаемое отдельно, а результаты сложить. Это работает потому, что число 132 состоит именно из этих частей, и умножение каждой части даёт её вклад в общий результат. Поэтому 246 · 132 = 246 · 100 + 246 · 30 + 246 · 2.
Каждое неполное произведение находят, умножая первый множитель на цифру соответствующего разряда. Но цифра в разряде десятков означает не столько единиц, сколько десятков: например, 3 в числе 132 означает 30. Поэтому после умножения на 3 результат относится к десяткам и в записи сдвигается на одну позицию влево. Для сотен сдвиг составляет две позиции, поскольку 1 в разряде сотен означает 100.
В столбик обычно сначала вычисляют произведение на единицы, затем на десятки и сотни. При умножении каждой цифры первого числа полученное число делят на единицы и десятки: единицы записывают в текущем разряде, а десяток переносят в следующий разряд слева. Перенос нужен потому, что, например, 14 единиц — это 1 десяток и 4 единицы. Если перенесённое число не прибавить, результат окажется меньше правильного.
Если в трёхзначном множителе один из разрядов равен нулю, соответствующее неполное произведение равно нулю. Например, в числе 206 десятков нет, поэтому умножать на десятки не требуется. Однако строка для сотен всё равно должна соответствовать сдвигу на два разряда: иначе произведение на 200 ошибочно будет принято за произведение на 20. Разряды определяются местом цифры в исходном числе, а не наличием ненулевой строки.
Окончательный результат получают сложением неполных произведений. Перед сложением проверь, что единицы каждой строки стоят в нужных столбцах: тогда десятки складываются с десятками, а сотни — с сотнями. Затем оцени величину ответа, округлив множитель, например 132 примерно до 130. Произведение должно быть близко к результату такого приблизительного вычисления; если оно отличается очень сильно, проверь переносы и положение строк.
| Этап | Что выполняют | Что важно учесть |
|---|---|---|
| Умножение на единицы | Умножают первый множитель на цифру единиц | Записывают результат в строке единиц |
| Умножение на десятки | Умножают первый множитель на цифру десятков | Неполное произведение записывают со сдвигом на один разряд |
| Умножение на сотни | Умножают первый множитель на цифру сотен | Неполное произведение записывают со сдвигом на два разряда |
| Сложение | Складывают неполные произведения | Проверяют разрядность и правдоподобие ответа |
Пользуйся таблицей как порядком действий: найди по очереди произведения на единицы, десятки и сотни, а затем выполни сложение. В каждой строке сверяй не только вычисление, но и положение результата относительно разрядов. При нуле в множителе особенно внимательно проверь сдвиг следующего неполного произведения.
Задача 1. Вычисли 246 · 132. Разложим второй множитель: 132 = 100 + 30 + 2. Так мы увидим, какие три неполных произведения нужно найти, и не перепутаем десятки с единицами. После этого сложим полученные значения.
Оценим результат: 132 близко к 130, а 246 · 130 = 31 980. Полученное число 32 472 близко к оценке, значит, ответ выглядит правдоподобно. Ответ: 32 472.
Задача 2. Вычисли 3407 · 206. В множителе 206 есть 2 сотни, 0 десятков и 6 единиц. Нулевой разряд не даёт неполного произведения, но произведение на сотни всё равно нужно поставить с учётом того, что это именно сотни.
Проверим порядок величины: 206 близко к 200, а 3407 · 200 = 681 400. Ответ немного больше этой оценки, что ожидаемо, поскольку 206 больше 200. Ответ: 701 842.
Задача 3. Для школьной библиотеки купили 128 коробок карандашей, по 234 карандаша в каждой. Сколько карандашей купили? В каждой коробке одинаковое количество карандашей, значит, нужно сложить 234 сто двадцать восемь раз. Умножение заменяет такое многократное сложение, поэтому составим выражение 234 · 128.
По смыслу задачи результат должен обозначать общее количество карандашей во всех коробках, поэтому ответ выражаем в карандашах. Приблизительная проверка: 128 близко к 130, и 234 · 130 = 30 420, что близко к точному результату. Ответ: 29 952 карандаша.
Неполные произведения иногда записывают одно под другим без разрядного сдвига. Так, результат умножения на десятки принимают за единицы, потому что забывают: цифра десятков обозначает число, кратное 10. Ошибку легко заметить, если проверить положение единиц в каждой строке и сравнить ответ с примерной оценкой произведения.
Другая ошибка — пропустить строку для нулевой цифры и после этого сдвинуть следующее произведение не на тот разряд. Ноль не создаёт неполного произведения, но не отменяет разрядного значения остальных цифр. Перед сложением разложи множитель на сотни, десятки и единицы и проверь, на сколько позиций сдвинута строка каждого разряда.
При умножении столбиком можно забыть перенести десятки к следующему разряду. Это случается, когда ученик записывает только единицы полученного числа и не замечает оставшуюся часть. После каждого умножения столбца проверяй, есть ли десяток для переноса, и прибавляй его к следующему вычислению слева.
Наконец, неполные произведения могут быть сложены с ошибкой или выровнены не по единицам. Тогда даже верные промежуточные числа дают неверный итог. Перед сложением проверь вертикальные столбцы, а после него пересчитай сумму или оцени её величину округлением множителя.
Для письменного умножения многозначного числа на трёхзначное нужны таблица умножения, навык умножения столбиком на однозначное число и умение складывать многозначные числа. Именно эти действия повторяются при нахождении каждого неполного произведения и окончательной суммы. Если они отработаны, остаётся внимательно следить за разрядным сдвигом и переносами.
Разложение множителя и сложение неполных произведений пригодятся и при умножении на числа с большим количеством разрядов. Этот приём помогает вычислять значения выражений в задачах, а оценка результата — замечать ошибки до того, как ответ будет записан. Понимание разрядов позволяет объяснить, почему способ работает, а не просто повторять порядок действий.
Почему при умножении на десятки неполное произведение записывают со сдвигом?
Цифра десятков обозначает не отдельные единицы, а десятки. Поэтому произведение на неё фактически умножают на число, кратное 10, и записывают на один разряд левее.
Что делать, если в трёхзначном множителе есть ноль?
Произведение на нулевую цифру равно нулю. Сохраняй разрядное положение других неполных произведений: например, строку для сотен нельзя сдвигать на место десятков.
Куда прибавлять десяток, полученный при умножении?
Перенос прибавляют к результату умножения в следующем разряде слева. Например, при вычислении по цифрам единиц десяток переносят в разряд десятков.
Можно ли сначала умножать на сотни, а потом на десятки и единицы?
Да, порядок нахождения неполных произведений можно изменить. Главное — правильно учесть разряд каждой цифры и затем сложить все произведения.
Как проверить, что полученное произведение правдоподобно?
Округли трёхзначный множитель и умножь на него первый множитель. Точный ответ должен быть близок к этой оценке и иметь подходящую величину.
Умножение многозначного числа на трёхзначное число
