Деление величины на число. Деление величины на величину

Определения и обозначения

Деление величины на число — нахождение величины, которая в указанное число раз меньше исходной; единица измерения сохраняется. Например, 15 кг : 3 = 5 кг. Такое действие используют при равном распределении величины.

Деление величины на величину — нахождение, во сколько раз одна величина больше другой. Если величины одного вида выражены в одинаковых единицах, результатом будет число: 20 см : 5 см = 4. Это помогает сравнивать измеряемые объекты.

Значение величины — числовое значение вместе с единицей измерения, например 6 м или 250 г. Число показывает, сколько единиц содержится в величине, а единица уточняет, что именно измеряют. Оба компонента нужны для правильной записи ответа.

Единица измерения — принятая единица, в которой выражают величину и выполняют вычисления. Для длины используют миллиметры, сантиметры, метры и другие единицы, для массы — граммы и килограммы. Выбор общей единицы позволяет корректно сравнивать и делить величины.

Как это устроено

При делении величины на число число единиц в ней уменьшается во столько раз, каково делящее число. Поэтому достаточно разделить числовое значение, а название единицы оставить: 18 л : 6 = 3 л. Если заменить литры на абстрактное число, потеряется смысл результата — станет непонятно, что именно получилось. Единица показывает размер каждой равной части.

Такое деление связано с делением на равные части. Величину 24 м можно распределить между четырьмя одинаковыми частями, и каждая получит 6 м. Обратное действие подтверждает решение: если 6 м умножить на 4, снова получится 24 м. Поэтому деление и умножение образуют взаимно обратную пару.

Величины одного вида перед делением должны быть выражены в одинаковых единицах, потому что сравнивать нужно одинаковые доли измеряемого объекта. Например, 2 м и 50 см нельзя сразу воспринимать как 2 и 50: это разные числовые значения одной длины. После перевода 2 м = 200 см получаем 200 см : 50 см = 4. Единицы при этом взаимно сокращаются, и результат становится числом.

Частное двух однородных величин отвечает на вопрос «во сколько раз?»: 18 кг : 6 кг = 3. Если единицы различаются, частное описывает уже не простое сравнение, а новую характеристику. Так, путь делят на время, чтобы узнать, какой путь приходится на одну единицу времени: 60 км : 2 ч = 30 км/ч. Новая единица км/ч называется единицей скорости.

Деление величин на число и на величину

Таблица помогает выбрать способ действия по условию задачи. Сначала определите, делится ли величина на отвлечённое число или на другую величину. Затем проверьте единицы и запишите ответ с подходящим обозначением.

Разбор задач

Задача 1. Разделить 8 м 40 см на 4

Составная величина содержит метры и сантиметры, поэтому удобнее перейти к одной единице. Выберем сантиметры: так деление будет выполнено над одним числовым значением. После вычисления вернём ответ к метрам и сантиметрам.

1. Переводим длину: 8 м 40 см = 840 см.
2. Делим числовое значение: 840 см : 4 = 210 см.
3. Выражаем результат удобно: 210 см = 2 м 10 см.
4. Проверяем: 2 м 10 см · 4 = 8 м 40 см.

Ответ: 2 м 10 см.

Задача 2. В коробке 3 кг конфет. Сколько килограммов приходится на одну из 6 одинаковых частей?

Нужно разделить всю массу поровну на шесть частей. Это деление величины на число, поэтому килограммы в ответе сохраняются. Полученное значение должно быть меньше исходных 3 кг.

1. Записываем действие: 3 кг : 6.
2. Делим числовое значение: 3 : 6 = 0,5.
3. Сохраняем единицу массы: 0,5 кг.
4. Проверяем умножением: 0,5 кг · 6 = 3 кг.

Ответ: по 0,5 кг конфет в каждой части.

Задача 3. Велосипедист проехал 36 км за 3 ч. Найти его среднюю скорость

Скорость показывает, какой путь приходится на единицу времени. Поэтому известный путь делим на время, за которое он пройден. Единицы уже согласованы: километры делятся на часы, значит результат будет в км/ч.

1. Записываем формулу: скорость = путь : время.
2. Подставляем значения: 36 км : 3 ч.
3. Выполняем деление: 36 : 3 = 12.
4. Записываем единицу результата: 12 км/ч.

Ответ: средняя скорость велосипедиста — 12 км/ч.

Типичные ошибки

Иногда делят только число и записывают ответ без единицы: 12 м : 3 = 4. Ошибка возникает из-за того, что единицу принимают за необязательную часть записи. Проверьте себя вопросом: «Что измеряет мой ответ?» — здесь это 4 м.

Нельзя сразу делить 5 м на 20 см как 5 : 20, поскольку числа относятся к разным единицам. Такая ошибка появляется при невнимательном чтении обозначений. Переведите 5 м в 500 см и только затем выполните деление.

Деление величины на число и деление величины на величину отвечают на разные вопросы. В первом случае находят долю и сохраняют единицу, во втором сравнивают две величины или получают новую характеристику. Проверяйте смысл условия: спрашивается «сколько приходится на часть» или «во сколько раз».

При составной величине нельзя складывать или делить сами обозначения вместо числовых значений. Например, в 8 м 40 см сначала переводят метры и сантиметры в одну единицу, а затем делят 840 см. Обратное умножение покажет, не потерялись ли единицы и исходное значение.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать единицы длины, массы и времени, а также связи между ними. Понадобятся смысл деления и связь деления с умножением. Эти знания помогают выбрать действие и проверить его.

Тема пригодится при решении задач на скорость, производительность, расход материалов и другие отношения величин. Во всех таких задачах важно понять, что сравнивают и какая единица получится. Например, путь делят на время, а выполненную работу — на время работы.

Деление величин связано с переводом единиц, округлением значений и решением текстовых задач. Иногда сначала переводят километры в метры или часы в минуты, а затем выполняют вычисление. Округлять результат следует только после точного действия и с учётом смысла задачи.

Что запомнить

• При делении величины на число единицу измерения сохраняют.
• Числовое значение величины при делении на число уменьшается во столько раз, каково это число.
• Делить величины одного вида нужно после приведения их к одинаковым единицам.
• Частное двух однородных величин показывает, во сколько раз одна из них больше другой.
• Деление величины на величину с разными единицами может дать новую величину.
• Правильность деления проверяют умножением.
• Ответ должен иметь подходящую единицу измерения и быть разумным по смыслу задачи.