"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.
Диагональ многоугольника — отрезок, который соединяет две несмежные вершины, то есть вершины, не соединённые стороной. Подсчёт диагоналей помогает описывать строение многоугольника и разбиение его на части. Если у фигуры n вершин, из каждой можно провести n − 3 диагонали, а всего их будет n(n − 3)/2. Важно не считать стороны диагоналями и помнить, что при подсчёте из всех вершин каждая диагональ встречается дважды.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многоугольник — фигура, ограниченная замкнутой ломаной. Точки, в которых соединяются звенья ломаной, называются вершинами, а сами звенья — сторонами. Различать вершины и стороны нужно, чтобы правильно называть отрезки, из которых состоит фигура, и те, которые можно провести внутри неё.
Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две вершины, не являющиеся концами одной стороны. Например, если вершины обозначены буквами, диагональ можно назвать по её концам. Это определение помогает отличать диагонали от сторон и правильно подсчитывать их.
Смежные вершины — соседние вершины, соединённые стороной; несмежные вершины стороной не соединены. Например, в четырёхугольнике вершины, стоящие рядом по границе, смежны, а противоположные — несмежны. Это различие нужно, чтобы определить, какие пары вершин образуют диагонали.
Число диагоналей зависит от числа вершин многоугольника. Если вершин n, то из каждой можно провести n − 3 диагонали, а общее количество находят, подсчитывая диагонали из всех вершин и учитывая повторный счёт. Эти обозначения позволяют записать общее правило для любого многоугольника.
Выберем одну вершину и попробуем соединить её отрезками с остальными. Соединять вершину с самой собой нельзя: отрезок должен иметь два различных конца. Два соединения с соседними вершинами уже являются сторонами многоугольника, а не диагоналями. Поэтому диагоналями будут только отрезки к оставшимся вершинам.
У треугольника всего три вершины, и каждая пара из них соединена стороной. Значит, даже если провести отрезок между любой парой вершин, получится граница фигуры, а не диагональ. Именно поэтому треугольник не имеет диагоналей.
У четырёхугольника из каждой вершины можно провести диагональ только к противоположной вершине. Если начать по очереди из всех четырёх вершин, каждую из двух диагоналей мы назовём два раза — по одному разу с каждого конца. Поэтому у четырёхугольника две диагонали, а не четыре.
В n-угольнике из выбранной вершины есть n возможных вершин для соединения, включая саму выбранную. Исключаем её и двух соседей: к ним ведут стороны или соединение с самой собой. Остаётся n − 3 вершины, а значит, столько диагоналей можно провести из одной вершины.
Чтобы найти все диагонали, можно сложить количество диагоналей из каждой вершины: получится n(n − 3). Но в этой сумме каждая диагональ посчитана с обоих концов, так что результат вдвое больше настоящего числа. Деление на 2 устраняет повторный счёт, и формула принимает вид n(n − 3)/2.
| Многоугольник | Число вершин n | Диагоналей из одной вершины | Всего диагоналей |
|---|---|---|---|
| Треугольник | 3 | 0 | 0 |
| Четырёхугольник | 4 | 1 | 2 |
| Пятиугольник | 5 | 2 | 5 |
| n-угольник | n | n − 3 | n(n − 3)/2 |
Сначала найди строку с нужным многоугольником или подставь число вершин в строку для n-угольника. В столбце «Диагоналей из одной вершины» указано, сколько отрезков можно провести из одной выбранной вершины. Последний столбец показывает число различных диагоналей во всей фигуре.
Назовём вершины пятиугольника по порядку A, B, C, D, E. Соседние вершины соединены сторонами, поэтому диагонали нужно искать среди пар несмежных вершин. Если изображаете фигуру, сначала отметьте вершины по порядку, затем соедините только такие пары.
Ответ: у пятиугольника 5 диагоналей. Проверка по формуле: 5(5 − 3)/2 = 5; на рисунке должны быть отмечены те же пять отрезков.
В семиугольнике n = 7. Сначала найдём число диагоналей из одной вершины, исключив саму вершину и двух соседей; затем вычислим общее количество, помня о двойном подсчёте.
Ответ: из одной вершины выходят 4 диагонали, а всего в семиугольнике 14 диагоналей. Формула даёт тот же результат: 7(7 − 3)/2 = 14.
Обозначим число вершин буквой n и приравняем формулу общего количества к 20. После умножения обеих частей на 2 получим n(n − 3) = 40. Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону: n² − 3n − 40 = 0.
Ответ: у многоугольника 8 вершин. Проверка подстановкой подтверждает, что восьмиугольник имеет ровно 20 диагоналей.
Считать диагональю отрезок между соседними вершинами — значит принять сторону за диагональ. Так ошибаются, когда ориентируются только на то, что отрезок соединяет две вершины, и забывают уточнение «несмежные». Проверь себя: если отрезок лежит на границе многоугольника и соединяет соседние вершины, это сторона.
Иногда в список диагоналей включают соединение вершины с самой собой. Такое рассуждение забывает, что отрезок должен иметь два различных конца. Чтобы проверить запись, посмотри на названия концов: две одинаковые буквы означают не диагональ, а неверно составленное соединение.
При подсчёте из одной вершины можно ошибочно получить n − 2, если исключить только соседей. Причина в том, что не учтена сама выбранная вершина, к которой диагональ провести нельзя. Сверься с правилом: из всех n вершин исключаются три — выбранная и две соседние.
В формуле общего числа диагоналей иногда забывают делить на 2. Сначала считают все выходящие из вершин отрезки, поэтому каждая диагональ попадает в сумму дважды — по одному разу для каждого конца. Проверить себя можно на четырёхугольнике: без деления получится 4, хотя в нём только 2 диагонали.
Для изучения диагоналей нужно знать, что такое многоугольник, его вершины и стороны, а также уметь считать элементы фигуры. Эти знания позволяют отличить диагональ от стороны и не посчитать один и тот же отрезок несколько раз. Подсчёт диагоналей пригодится при разбиении многоугольников на треугольники и изучении свойств многоугольников: диагонали помогают исследовать, как устроена фигура внутри.
Чем диагональ отличается от стороны?
Сторона соединяет соседние вершины и входит в границу многоугольника. Диагональ соединяет две несмежные вершины, поэтому проходит внутри фигуры.
Почему у треугольника нет диагоналей?
У треугольника каждая пара вершин соединена стороной. Несмежных вершин, которые можно было бы соединить диагональю, нет.
Почему из одной вершины n-угольника можно провести n − 3 диагонали?
Из выбранной вершины нельзя провести диагональ к ней самой. Нельзя соединить её и с двумя соседними вершинами: эти отрезки уже являются сторонами. Из всех n вершин остаются n − 3 подходящих.
Почему формулу общего числа диагоналей нужно делить на 2?
При подсчёте из каждой вершины одну и ту же диагональ учитывают с обоих концов. Поэтому сумму n(n − 3) нужно разделить на 2.
Как найти число вершин многоугольника, если известно число его диагоналей?
Подставьте число диагоналей D в уравнение n(n − 3)/2 = D и решите его. Затем проверьте, что найденное n — целое число не меньше 3 и при подстановке даёт заданное количество диагоналей.
Диагональ многоугольника
