"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.
Числовое выражение — запись из чисел и знаков действий, которая показывает, какие вычисления нужно выполнить. По такой записи можно получить одно число — значение выражения. Чтобы найти его правильно, учитывают скобки и ступени действий: сначала выполняют действия в скобках, затем более высокой ступени, а действия одной ступени — слева направо. Эти правила помогают не запутаться в вычислениях и пригодятся при работе с формулами и задачами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок, которая задаёт последовательность действий. Например, 12 + 3 · 4 — числовое выражение, потому что в нём записаны числа и указано, что с ними делать. Это понятие помогает отличать запись вычислений от обычного перечня чисел.
Значение числового выражения — число, полученное после выполнения всех действий, заданных выражением. У записи 12 + 3 · 4 значение равно 24, если сначала умножить 3 на 4, а затем прибавить 12. Значение показывает итог вычислений и позволяет сравнивать выражения между собой.
Порядок действий — правила, определяющие, в какой последовательности выполнять действия в выражении. Он нужен, чтобы разные люди получили один и тот же результат, а не вычисляли по-разному. Например, в выражении 12 + 3 · 4 эти правила требуют сначала выполнить умножение.
Скобки — знаки, которые указывают, какие действия нужно выполнить в первую очередь. В выражении (12 + 3) · 4 сначала складывают числа внутри скобок, а потом умножают результат на 4. Скобки помогают явно задать нужную последовательность вычислений.
Числовое выражение составляют из чисел и знаков действий, и каждая такая запись задаёт определённые вычисления. Например, запись 7 + 2 · 5 не просто перечисляет числа: знаки показывают, что нужно сложить и умножить. Порядок выполнения задаётся правилами, поэтому одну и ту же запись нельзя произвольно считать разными способами. Когда все действия выполнены, вместо выражения получается его значение.
Если скобок нет, действия разных ступеней выполняют не в том порядке, в каком они встречаются при чтении. Сначала считают возведение в степень, затем умножение и деление, а потом сложение и вычитание. Причина в том, что эти действия имеют разную ступень и правила задают приоритет более высокой ступени. Так, в 7 + 2 · 5 сначала находят произведение 2 · 5, а затем прибавляют 7.
Действия одной ступени без скобок выполняют слева направо. Это правило относится, например, к умножению и делению, а также к сложению и вычитанию: внутри каждой пары действия равноправны. Поэтому в 24 : 6 · 2 сначала делят 24 на 6, а затем умножают результат на 2. Если поменять этот порядок, получится другое число, хотя все знаки останутся теми же.
Скобки изменяют обычный порядок действий, потому что выделяют часть выражения, которую нужно посчитать отдельно. Сначала находят значение внутри скобок, даже если там есть сложение, а снаружи — умножение или деление. Затем полученный результат подставляют вместо скобок и продолжают вычисления по общим правилам. Так выражение (7 + 2) · 5 даёт результат 45, а не 17.
При вычислениях удобно записывать промежуточные результаты. На каждом шаге выбирают действие, которое по правилам выполняется следующим, и заменяют его результатом. Это помогает заметить, где допущена ошибка, если итог не совпал с ожидаемым. Запись шагов особенно полезна, когда в выражении много знаков и скобок.
| Ситуация | Что выполнять сначала | Как продолжить |
|---|---|---|
| В выражении есть скобки | Действия внутри скобок | Затем выполнять оставшиеся действия по их ступеням |
| Есть действия разных ступеней | Действия более высокой ступени: степень, умножение и деление | После них выполнять сложение и вычитание |
| Есть умножение и деление одной ступени | Первое из них слева | Продолжать слева направо |
| Есть сложение и вычитание одной ступени | Первое из них слева | Продолжать слева направо |
Пользуйся таблицей последовательно: сначала проверь, есть ли скобки, а затем определи ступень оставшихся действий. Если действия имеют одну ступень, двигайся слева направо. После каждого шага можно записать промежуточный результат и снова проверить, какое действие выполнять следующим.
В каждом примере сначала определяем, какие действия имеются и какие из них выполняются раньше остальных. Затем вычисляем выбранные действия, не меняя их порядка. В конце проверяем, что использованы все числа и знаки исходной записи. Такой способ позволяет не угадывать ответ, а обосновать каждый шаг.
Задача 1. Найди значение выражения 48 − 17 + 6. Здесь стоят вычитание и сложение, а они относятся к одной ступени. Поэтому начинаем с действия, расположенного левее.
Задача 2. Найди значение выражения 36 : 6 + 4 · 3. Здесь есть деление, сложение и умножение, поэтому нельзя начинать с первого знака подряд. Сначала выполняем деление и умножение, а сложение оставляем на потом.
Задача 3. Найди значение выражения 72 : (5 + 4) + 3 · (8 − 2). Сначала выделяем действия в скобках: они должны быть выполнены раньше остальных. После этого в записи останутся деление, умножение и сложение, и порядок снова определят ступени действий.
Сложение выполняют раньше умножения. Ошибка появляется, если читать выражение слева направо и сразу считать первое встретившееся действие. Проверь себя: найди все действия в записи и сначала отметь умножение и деление, а уже потом сложение и вычитание. Например, в 5 + 2 · 3 сначала считают 2 · 3.
Меняют порядок действий одной ступени. Иногда считают, что сложение всегда важнее вычитания или умножение важнее деления. Но действия внутри каждой такой пары равноправны, поэтому нужно идти слева направо. Для проверки можно подчеркнуть первое слева действие этой ступени и убедиться, что именно оно выполняется следующим.
Не выполняют действие в скобках первым. Скобки могут принять за необязательные знаки и начать считать внешнее действие. Чтобы избежать ошибки, сначала найди каждую пару скобок и вычисли выражение внутри неё. После этого перепиши запись, заменив скобки полученными значениями.
Неверно читают выражение или пропускают знак. Это случается, если торопиться и не проверить, как соединены числа. Сверь исходную запись с каждым промежуточным шагом: все ли числа и знаки учтены, не перепутано ли деление со сложением. Затем оцени, разумен ли результат, например не должен ли он быть больше или меньше ожидаемого.
Для вычислений в числовых выражениях нужны таблица умножения и правила сложения, вычитания, умножения и деления. Навык порядка действий пригодится при нахождении значений формул и буквенных выражений, где вместо букв подставляют числа. Он также помогает решать уравнения и задачи, содержащие несколько вычислений: можно выполнить их последовательно и не потерять смысл записи.
Что называют числовым выражением?
Это запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок, которая задаёт вычисления. Например, 8 + 3 · 2 — числовое выражение.
Чем выражение отличается от его значения?
Выражение — это запись, в которой указано, какие действия выполнить. Значение выражения — число, полученное после выполнения всех этих действий.
Какие действия выполняют первыми, если скобок нет?
Сначала выполняют действия более высокой ступени: возведение в степень, затем умножение и деление. После них выполняют сложение и вычитание.
Как выполнять деление и умножение, если они стоят рядом?
Деление и умножение имеют одинаковую ступень, поэтому их выполняют по порядку слева направо. Нельзя сначала делать умножение только потому, что оно умножение.
Зачем в числовом выражении нужны скобки?
Скобки показывают, какие действия нужно выполнить раньше обычного. Сначала находят значение выражения внутри скобок, а затем используют его в оставшихся вычислениях.
Числовые выражения
