Числовые выражения

Определения и обозначения

Числовое выражение — запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок, по которой можно выполнить вычисления. Например, 7 + 3 · 2 — числовое выражение, а число 12 само по себе — отдельное число. Выражения помогают кратко записывать вычисления и показывают, какие действия нужно выполнить.

Значение числового выражения — число, полученное после выполнения всех действий. У выражения 7 + 3 · 2 значение равно 13, потому что сначала умножают 3 на 2, а затем прибавляют 7. Это понятие нужно, чтобы отличать саму запись от результата вычислений.

Порядок действий — правила, определяющие, в какой последовательности выполнять действия в выражении. Он нужен, чтобы разные люди, вычисляя одну и ту же запись, получили одинаковый результат. Скобки и ступени действий подсказывают, что делать раньше.

Числовое выражение, не имеющее смысла — запись, вычисление которой невозможно, например из-за деления на ноль. В выражении 8 : (5 − 5) делитель равен нулю, поэтому значение найти нельзя. Проверка на такую ситуацию помогает вовремя остановить вычисления.

Как это устроено

Числовое выражение составляют из чисел и знаков действий, а при необходимости заключают часть записи в скобки. Например, в 6 + 4 · 3 указаны числа и действия сложения и умножения. Запись отличается от отдельного числа тем, что для получения результата в ней нужно выполнить действия. Одно и то же выражение можно представить и словами: к шести прибавить произведение четырёх и трёх.

Вычисления можно выполнять по шагам, заменяя часть выражения её значением. В записи 6 + 4 · 3 сначала произведение 4 · 3 заменяют числом 12, и получается 6 + 12. Затем эту запись заменяют числом 18. Такой способ не меняет смысл выражения: на каждом шаге вместо выполненного действия остаётся его результат.

Порядок действий нужен потому, что несколько знаков в одной записи могут допускать разные способы чтения. Сначала вычисляют то, что заключено в скобки: скобки выделяют часть, которую нужно рассмотреть как целое. Потом выполняют умножение и деление, а сложение и вычитание оставляют на последнюю ступень. Поэтому запись 6 + 4 · 3 означает 6 + 12, а не 10 · 3.

Если действий одной ступени несколько и скобки не задают другой порядок, их выполняют слева направо. Умножение и деление относятся к одной ступени, как и сложение с вычитанием. Поэтому в 24 : 6 · 2 сначала делят 24 на 6, а затем результат умножают на 2. Если считать, что умножение всегда важнее деления, получится неверная последовательность.

Деление на ноль невозможно, потому что нет такого числа, которое при умножении на ноль дало бы ненулевое делимое. Поэтому перед делением нужно проверить, чему равен делитель, особенно если он записан в скобках и требует вычисления. В выражении 20 : (7 − 2 · 3) сначала выполняют умножение в знаменателе, затем вычитание. Если после этих действий делитель оказался бы равен нулю, вычисление на этом остановилось бы: выражение не имеет смысла.

Порядок выполнения действий в числовом выражении

Сначала найди скобки и выполни действия внутри них, затем проверь, остались ли умножение или деление. Сложение и вычитание выполняй после них, а при нескольких действиях одного уровня двигайся слева направо. Если делитель получился равен нулю, значение выражения найти нельзя.

Разбор задач

Задача 1. Найти значение выражения 18 − 6 : 3.

В записи есть деление и вычитание, а скобок нет. Деление и вычитание относятся к разным ступеням, поэтому сначала нужно выполнить деление, даже если знак вычитания стоит левее. После этого останется простое вычитание.

1. Вычислим частное: 6 : 3 = 2. Заменим деление его результатом и получим 18 − 2.

2. Вычтем: 18 − 2 = 16. Это и есть значение исходного выражения.

Ответ: 16.

Задача 2. Найти значение выражения (18 − 6) : 3 + 4 · 2.

Скобки задают действие, которое нужно выполнить прежде остальных. Когда скобки вычислены, в записи останутся деление, умножение и сложение. Сначала выполним деление и умножение слева направо, а сложение — после них.

1. Вычислим разность в скобках: 18 − 6 = 12. Получаем 12 : 3 + 4 · 2.

2. Выполним деление и умножение: 12 : 3 = 4, затем 4 · 2 = 8. Теперь выражение имеет вид 4 + 8.

3. Сложим числа: 4 + 8 = 12. Поскольку делитель равен 3, а не нулю, вычисление допустимо.

Ответ: 12.

Задача 3. Определить, имеет ли смысл выражение 20 : (7 − 2 · 3), и если имеет — найти его значение.

Здесь делитель — выражение в скобках, поэтому прежде чем делить, нужно найти его значение. Внутри скобок есть умножение и вычитание, значит, умножение выполняется первым. Затем проверим результат скобок: именно он покажет, разрешено ли деление.

1. Вычислим произведение: 2 · 3 = 6. В скобках остаётся 7 − 6.

2. Вычтем: 7 − 6 = 1. Значит, исходная запись превращается в 20 : 1.

3. Проверим делитель: 1 не равен нулю, поэтому выражение имеет смысл. Выполним деление: 20 : 1 = 20.

Ответ: выражение имеет смысл, его значение — 20. Если бы после вычислений в скобках получилось 0, деление было бы невозможно.

Типичные ошибки

Первая ошибка — выполнять сложение раньше умножения, потому что выражение читают слева направо. Так пропускают ступени действий: например, в 5 + 2 · 3 сначала находят произведение. Проверка проста: отметь все умножения и деления и убедись, что они выполнены до сложения и вычитания.

Иногда умножение выполняют раньше деления, хотя они относятся к одной ступени. Так ошибочно думают, будто умножение всегда главнее; на самом деле действия этого уровня идут слева направо, если скобки не говорят иначе. Проверь, какое из них стоит первым в записи, и выполни его первым.

Ещё одна ошибка — не учитывать скобки или начинать действия снаружи раньше, чем внутри них. Скобки выделяют часть выражения, которую сначала нужно вычислить как отдельный фрагмент. Чтобы проверить себя, найди скобки перед вычислением и отметь, что сначала обработал каждую из них.

Нельзя продолжать вычисление, если делитель равен нулю. Эту ошибку допускают, когда выполняют действия по записи, но забывают проверить результат в знаменателе или после знака деления. Перед каждым делением вычисли делитель и убедись, что он не равен 0; если равен, выражение не имеет смысла.

Связь с другими темами

Для работы с числовыми выражениями нужно знать значения арифметических действий и уметь выполнять их с натуральными числами. Эти знания помогают не только выбрать правильную последовательность, но и точно получить результат каждого шага. Если действия выполняются неверно, верный порядок сам по себе не спасёт от ошибки.

Те же правила порядка действий пригодятся при вычислениях с дробями, десятичными числами и буквами. Меняется вид чисел или появляется обозначение вместо числа, но скобки, ступени действий и движение слева направо продолжают помогать разбирать запись. Умение видеть структуру выражения нужно и в более сложных вычислениях.

Что запомнить

• Числовое выражение состоит из чисел, знаков действий и, возможно, скобок.
• Значение выражения получают, выполнив все указанные действия.
• Сначала выполняют действия в скобках.
• Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Действия одной ступени выполняют слева направо.
• На ноль делить нельзя.